La prueba de que $\text{erfc}(x)\leqslant e^{-x^2}$

Question

Estoy buscando una prueba de que $\text{erfc}(x)\leqslant e^{-x^2}$ sin invocar ninguna teoría de la probabilidad.

Algunas fuentes dicen que esta desigualdad es un resultado de la "Chernoff sujeto," que parece venir de la teoría de la probabilidad. Pero, en principio, esta desigualdad es real acerca de los valores de las funciones y no requiere ninguna referencia a la teoría de la probabilidad.

Hay una manera sencilla de demostrar esto?

Answer 1

Para $x \ge 0$ uno puede sustituir $t = x+s$ en la integral: $$ \operatorname{erfc}(x) = \frac{2}{\sqrt \pi} \int_x^\infty e^{-t^2} \, dt = \frac{2}{\sqrt \pi} \int_0^\infty e^{-(x+s)^2} \, ds \\ = \frac{2}{\sqrt \pi} e^{-x^2 }\int_0^\infty e^{-2xs}e^{-s^2} \, ds \le \frac{2}{\sqrt \pi} e^{-x^2 }\int_0^\infty e^{-s^2} \, ds \\ = e^{-x^2 }\operatorname{erfc}(0) = e^{-x^2 } $$

Para $x< 0$ la estimación no se sostiene porque, a continuación, $e^{-x^2} < 1 < \operatorname{erfc}(x)$.

Answer 2

Para $x \ge \dfrac{1}{\sqrt{\pi}}$, tenemos $\dfrac{t}{x} \ge 1$ para todos los $t \in [x,\infty)$, y por lo tanto $$\text{erfc}(x) = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{-t^2}\,dt \le \dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{\infty}\dfrac{t}{x}e^{-t^2}\,dt = \dfrac{1}{x\sqrt{\pi}}e^{-x^2} \le e^{-x^2}.$$

También, para $0 \le x \le \dfrac{1}{\sqrt{\pi}}$, tenemos $t\sqrt{\pi} \le 1$ para todos los $t \in [0,x]$, y por lo tanto

$$1-\text{erfc}(x) = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^2}\,dt \ge \dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}t\sqrt{\pi}e^{-t^2}\,dt = 1-e^{-x^2},$$ i.e. $\texto{erfc}(x) \le e^{-x^2}$.