Integral indefinida mediante factorización

Question

Así que tengo $$\int \frac{1}{(x^2+1)^2}dx$$

Y el profesor hace un poco de magia

Estoy confundido. ¿Qué pasa con la derivada? Resolví la integral a través de la sustitución, pero tengo curiosidad por saber cómo funciona esto, para poder aprender. ¡Gracias!

Answer 1

Si diferencias $\frac{Cx+D}{x^2+1}$, entonces obtienes el cociente de un polinomio de segundo grado con $(x^2+1)^2$. Si le sumas $\frac{Ax+B}{x^2+1}$, obtienes el cociente de un polinomio cúbico por $(x^2+1)^2$. Por lo tanto, es razonable esperar que puedas expresar $\frac1{(x^2+1)^2}$ como tal expresión. Por otro lado, $$\int\frac{Ax+B}{x^2+1}\,\mathrm dx=\frac A2\log(x^2+1)+B\arctan(x),$$ y por lo tanto esto te permite obtener $$\int\frac{\mathrm dx}{(x^2+1)^2}=\frac A2\log(x^2+1)+B\arctan(x)+\frac{Cs+D}{x^2+1}.$$

Answer 2

Es posible abreviar esta magia de la siguiente manera

\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{(x^2+1)^2}dx & = & \int \frac{1+x^2 - x^2}{(x^2+1)^2}dx \\ & = & \int \frac{1}{x^2+1}dx - \frac{1}{2}\int x\frac{2x}{(x^2+1)^2}dx \\ & = & \arctan x - \frac{1}{2}\left(- \frac{x}{x^2+1} + \int \frac{1}{x^2+1}dx\right) \\ & = & \arctan x + \frac{1}{2}\frac{x}{x^2+1} - \frac{1}{2}\arctan x \;(+C) \\ & = & \frac{1}{2}\left(\arctan x + \frac{x}{x^2+1}\right) \;(+C) \\ \end{eqnarray*}