¿Cuál es la suma de $\sum_{k=0}^{n}k^2\binom{n}{k}$?

Question

Cuál debe ser la estrategia para encontrar

$$\sum_{k=0}^{n}k^2\binom{n}{k}$$

Se puede hacer esto haciendo una serie de $x$ e integrar?

Answer 1

Interesante pregunta..... Yo sé que usted va a obtener la tradicional respuestas, que probablemente le ayudará a resolver el problema. Sin embargo, si usted consigue el tiempo, trate de pensar en ello de esta manera:

Considere la posibilidad de $n$ jugadores. Quieres hacer un equipo de estos $n$ jugadores. Tenga en cuenta que el equipo puede tener cualquier número de jugadores! (Esto explicaría el $^nC_0 + ^nC_1 + ...$.)

Ahora considere que tiene dos posiciones para tomar: el Capitán, y el Vice-Capitán. Usted necesita un jugador para cubrir estas posiciones. Cualquier jugador puede llenar para esa posición. No sólo eso, un jugador también puede ocupar ambas posiciones! (Esto es para el coeficiente, $0^2 , 1^2 , 2^2 , etc.$)

Ahora... Piense en ello en el reverso. Para el primer caso, supongamos que usted tiene que elegir a una sola persona a convertirse en capitán y vice capitán: $n$ opciones. Ahora, tenemos $n-1$ jugadores para distribuir.. Así: $2^{n-1}$. Total es: $n2^{n-1}$

Para el segundo caso, se considera que has elegido dos jugadores diferentes para el capitán y vice-capitán. Por lo que el número de opciones: $n(n-1)$. Ahora tenemos $n-2$ jugadores restantes para distribuir: $2^{n-2}$. Total es: $n(n-1)2^{n-2}$

Así, el número total de maneras de hacer algo como esto es: $$n2^{n-1} + n(n-1)2^{n-2}$$

Answer 2

Sugerencia

Empezar con $$(1+x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k$$ Diferenciar, multiplicar por $x$ y diferenciar otra vez. ¿Qué se obtiene?

Answer 3

Vamos $$\displaystyle S=\sum^{n}_{k=0}k^2 \binom{n}{k} \;,$$ Now using $\displaystyle \bullet \; \binom{n}{k} = \frac{n}{k}\cdot \binom{n-1}{k-1}$

Así, obtenemos $$\displaystyle S = \sum^{n}_{k=0}k^2 \cdot \frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}\;,$$ Again using $\displaystyle \bullet \; \binom{n-1}{k-1} = \frac{n-1}{k-1}\cdot \binom{n-2}{k-2}$

Por lo $$\displaystyle S = n\sum^{n}_{k=1}k\binom{n-1}{k-1} = n\sum^{n}_{k=0}[(k-1)+1]\binom{n-1}{k-1}$$

Así, obtenemos $$\displaystyle S=n\sum^{n}_{k=1}(k-1)\binom{n-1}{k-1}+n\sum^{n}_{k=1} \binom{n-1}{k-1}$$

Así, obtenemos $$\displaystyle S=n\sum^{n}_{k=2}(k-1)\cdot \frac{n-1}{k-1}\cdot \binom{n-2}{k-2}+n\sum^{n}_{k=1}\binom{n-1}{k-1}$$

Así, obtenemos $$\displaystyle S=n(n-1)\sum^{n}_{k=0}\binom{n-2}{k-2}+n\sum^{n}_{k=0}\binom{n-1}{k-1}$$

Ahora El Uso De $\displaystyle \bullet\; \sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k} = 2^{k}$

Así, obtenemos $$\displaystyle S = n(n-1)\cdot 2^{n-2}+n\cdot 2^{n-1}$$