El valor esperado de $\max\{X_1,\ldots,X_n\}$ donde $X_i$ son iid uniforme.

Question

Deje $X_i\sim\mathrm{Uniform}(0,\theta)$ ser iid, ¿qué es $E[\max\{X_1,\ldots,X_n\}]$? Al parecer, la respuesta es $$\frac{n}{n+1}\theta,$$ pero no veo por qué?

Parece intuitivo en el que iba a "esperar" a ser espaciados de manera uniforme, por lo tanto el máximo sería $\frac{n}{n+1}$-de-la-manera a lo largo del intervalo, pero ¿cómo podemos demostrar esto matemáticamente? Me siento como debe ser simple, pero evidentemente $$E[\max\{X_1,\ldots,X_n\}]\neq\max\{E[X_1],\ldots,E[X_n]\}.$$ Gracias.

Answer 1

Su intuición es correcta.

Para ver este matemáticamente, supongamos $X_1, \ldots, X_n$ son independientes y distribuidos de manera uniforme y $M_n = \max(X_1,X_2,\ldots,X_n).$

La función de distribución de la máxima es la probabilidad conjunta de que $X_k \leq x$ para todos los $k.$ Este es un producto de las probabilidades marginales ya que las variables son independientes.

$$ F_M(x)=P(M_n \leq x) =P(X_1 \leq x,\ldots,X_n \leq x)=(x/\theta)^n$$

para $0 \leq x \leq \theta$.

También se $F_M(x) = 0$ para $x < 0$ e $F_M(x) = 1$ para $x > \theta$.

Por lo tanto, la función de densidad de probabilidad en $[0,\theta]$ es

$$f_M(x)=F'_M(x)=nx^{n-1}\theta^{-n}$$

y el valor esperado es

$$E(M_n) = \theta^{-n}\int_0^{\theta}xnx^{n-1}\, dx=\frac{n}{n+1}\theta.$$

Answer 2

Aquí está la fuerza bruta respuesta:

Con escala adecuado, podemos tomar $\theta =1$ sin pérdida de generalidad.

Deje $\sigma$ ser una permutación de $1,...,n$ e $A_\sigma = \{ x \in [0,1]^n | x_{\sigma_1} > \cdots > x_{\sigma_n} \}$.

Tenga en cuenta que $p ([0,1]^n \setminus (\cup_\sigma A_\sigma ) ) = 0$, y $E (\max(X_1,...,X_n) 1_{A_\sigma} (X_1,...,X_n) ) = E (\max(X_1,...,X_n) 1_{A_{\sigma'}}(X_1,...,X_n) )$ para cualquiera de los dos permutaciones $\sigma, \sigma'$.

Por lo tanto $E \max(X_1,...,X_n) = n! E (\max(X_1,...,X_n) 1_{A_\sigma} (X_1,...,X_n))$ cualquier $\sigma$.

Deje $\sigma$ ser la identidad de permutación, entonces si $(X_1,...,X_n) \in A_\sigma$ tenemos $\max(X_1,...,X_n) = X_1$, por lo que \begin{eqnarray} E (\max(X_1,...,X_n) 1_{A_\sigma} (X_1,...,X_n)) &=& \int_{x_1=0}^1 \int_{x_2=0}^{x_1} \cdots \int_{x_n=0}^{x_{n-1}} x_1 dx_n \cdots dx_1 \\ &=& {1 \over (n+1)(n-1)!} \end{eqnarray} Por lo tanto $E \max(X_1,...,X_n) = { n! \over (n+1)(n-1)!} = {n \over n+1}$.