¿La convergencia en $L^p$ e implican puntualmente el mismo límite?

Question

Si $f_n\in L^p$ convergen a $f$ y a $g$ en $L^p$ . ¿Significa eso que $f=g$ ¿en casi todas partes?

Answer 1

Como sugiere julien, ya que $f_n\to f$ en $L^p$ existe una subsecuencia $f_{n_k}$ que converge puntualmente en casi todas partes a $f$ . Pero como $f_n\to g$ puntualmente se deduce que $f_{n_k}\to g$ puntualmente.

Así, en el conjunto de convergencia puntual de $f_{n_k}\to f$ debemos tener $f = g$ . Por lo tanto $f = g$ casi en todas partes.

Answer 2

Por el lema de Fatou, tenemos $$\int \liminf_{n \to \infty} |f_n-f|^p d\mu \leq \liminf_{n \to \infty} \int |f_n-f|^p d\mu.$$ Desde $f_n$ converge a g puntualmente, tenemos que $$\liminf_{n \to \infty} |f_n-f|^p=\lim_{n \to \infty} |f_n-f|^p=|g-f|^p.$$ También, $f_n$ converge a f en $L_p$ entonces $$\liminf_{n \to \infty} \int |f_n-f|^p d\mu=\lim_{n \to \infty} \int |f_n-f|^p d\mu=0.$$ Por lo tanto, tenemos $$\int |g-f|^p d\mu=0,$$ lo que implica que $g=f$ casi en todas partes.