¿cuál es tu favorito de primer año de cálculo integral impropia?

Question

Estoy escribiendo un examen para llevar a casa en el primer año de la universidad a nivel de curso de cálculo. Este concurso de ofertas con las integrales impropias. Me gustaría saber si sería tan amable de compartir su favorito de integral impropia. Estoy especialmente interesado en :

• difíciles preguntas que hacen pensar
• preguntas que pueden ser abordados en los diferentes métodos, como la que se encuentra en una típica del norte de américa primer año de universidad, en el nivel de..., como por las partes, u-subs, trig subs, trig ids, etc, etc..

Agradezco mucho tu entrada.

Answer 1

No estoy seguro de cuánto califica para el primer año, pero tal vez inteligente de primer año:

$$\int_0^{\infty} dx \frac{\log{x}}{x^2-1} = \frac{\pi^2}{4}$$

Este tiene un montón de cosas ingeniosas construido en. (Tenga en cuenta que el integrando ¿ no volar en $x=1$.) ¿Qué les diría a los de primer año a hacer es sub $x=e^t$ y manipular el integrando un poco para ver que se puede utilizar una serie geométrica, que luego se convierte en un bien conocido de la suma.

(Tal vez me diría después tomar como dado que

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac1{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$ )

ANEXO

Otra cosa interesante que puede tener un estudiante de diapositivas a partir de esto es que

$$\int_0^1 dx \frac{\log{x}}{x^2-1} = \frac{\pi^2}{8}$$

Esto puede ser demostrado por la división de la integral en $x=1$ y la aplicación de la sustitución de $x=1/y$.

Una vez que el estudiante entiende eso, entonces debe ser una brisa para demostrar que

$$\int_0^{\infty} dx \frac{\log{x}}{x^2+1} = 0$$