Estoy buscando en la Matriz de libro de cocina. Desde mi análisis real de fondo, a mi entender, de cálculo de los derivados que involucran matrices es el uso de la Fréchet derivado en la normativa espacio de $(\mathbb{R}^{n \times n}, \|\cdot\|_{op})$ y sea cual sea el objetivo del espacio es, pero estoy teniendo un tiempo difícil vincular esto a lo que se utiliza en este libro.
Por ejemplo, considere la matriz de seguimiento $\text{Tr}: \mathbb{R}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{R}$. Este es un lineal de un mapa para que el Frechet derivada en la dirección ${\bf{V}} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ es sólo el lineal mapa independiente del punto de ${\bf{X}} \in \mathbb{R}^{n \times n}$, por lo que
$$\text{d}\text{Tr}({\bf{X}}){\bf{V}} = \text{Tr}({\bf{V}})$$
mientras que en la Matriz de libro de cocina, la siguiente identidad se afirma
$$\displaystyle\frac{\partial}{\partial {\bf{X}}}\text{Tr}({\bf{X}}) = {\bf{I}}$$
Que supongo que tiene la misma propiedad de ser independiente de ${\bf{X}}$ pero no es el mismo. Otro ejemplo es la función de $f({\bf{X}}) = {\bf{X}}^{-1}$, lo que ha Frechet derivado $\text{d}f({\bf{X}}){\bf{V}} = -{\bf{X}}^{-1}{\bf{V}}{\bf{X}}^{-1}$, MC estados muy similares en busca de identidad: $$\frac{\partial{\bf{X}}^{-1}}{\partial x} = -{\bf{X}}^{-1}\frac{\partial{\bf{X}}}{\partial x}{\bf{X}}^{-1}$$
Mi pregunta es, ¿cuál es la definición de $\displaystyle\frac{\partial}{\partial {\bf{X}}}$, $\partial{\bf{X}}$ y exótica expresiones tales como $\partial{\lambda_i}$ $\partial{\bf{v}}_i$ (donde $\lambda_i, {\bf{v}}_i$ son los valores propios y los vectores de una real simétrica la matriz). También tengo curiosidad si hay una buena interpretación geométrica o analógica a la de los derivados en los espacios de Banach y por qué estos derivados especializados ser preferido a través de una Frechet derivados en las aplicaciones.
He encontrado una pregunta similar, con algunas respuestas aquí pero no encontré estas particularmente esclarecedor, cualquier perspicaz respuestas son muy apreciadas.
