El uso de transformadas de Laplace para resolver el PDE $\frac{\partial\theta}{\partial t}=k\frac{\partial^2\theta}{\partial x^2}$

Question

Estoy tratando de resolver el problema de la conducción de las temperaturas $\theta(x,t)$. \begin{align} \frac{\partial\theta}{\partial t}&=k\frac{\partial^2\theta}{\partial x^2} \\ \theta(0,t)&=T_0e^{-bt}, \ \ \ t>0, \ b>0 \tag{1}\\ \theta(x,0)&=0, \ \ \ x>0. \end{align}

Mi intento:

Me tomó de la transformada de Laplace con respecto a t de la PDE. \begin{align} \mathcal{L}_t(\theta_t(x,t))&=k\mathcal{L}_t(\theta_{xx}(x,t)) \\ s\mathcal{L}_t(\theta(x,t))&=k\frac{d^2}{dx^2}\mathcal{L}_t(\theta(x,t)) \\ s\bar{\theta}&=k\frac{d^2}{dx^2}\bar{\theta}. \end{align}

La solución de esta ODA, tengo $$\bar{\theta}(x,t)=Ae^{x\sqrt{\frac{s}{k}}}+Be^{-x\sqrt{\frac{s}{k}}}, \ \ A,B\in\mathbb{R}.$$ Para garantizar la $\bar{\theta}$ es finito, tome $A=0$ como $|\bar{\theta}|\rightarrow\infty$ como $|s|\rightarrow\infty.$ Tomando la transformada de Laplace de $(1)$ e imponer esta condición de frontera, llego $$\bar{\theta}(x,t)=\frac{T_0}{s+b}e^{-x\sqrt{\frac{s}{k}}}.$$ Asumiendo que esto es correcto, ¿cómo puedo invertir? Una sugerencia sería apreciada en (he probado el teorema de convolución). Espero que el resultado sea en términos de error de las funciones.

Actualización:

$$\mathcal{L^{-1}}\left(\frac{1}{s+b}\times e^{-x\sqrt{\frac{s}{k}}}\right)=e^{-bt}\ast\frac{kxe^{\frac{x^2}{4tk}}}{2\sqrt{\pi (kt)^3}}.$$ I have used the property $$\mathcal{L}(f(ct))=\frac{1}{c}F\left(\frac{s}{c}\right).$$

Answer 1

Deje $\theta(x,t)=X(x)T(t)$ ,

A continuación, $X(x)T'(t)=kX''(x)T(t)$

$\dfrac{T'(t)}{kT(t)}=\dfrac{X''(x)}{X(x)}=-s^2$

$\begin{cases}\dfrac{T'(t)}{kT(t)}=-s^2\\X''(x)+s^2X(x)=0\end{cases}$

$\begin{cases}T(t)=c_3(s)e^{-kts^2}\\X(x)=\begin{cases}c_1(s)\sin xs+c_2(s)\cos xs&\text{when}~s\neq0\\c_1x+c_2&\text{when}~s=0\end{cases}\end{cases}$

$\therefore\theta(x,t)=\int_0^\infty C_1(s)e^{-kts^2}\sin xs~ds+\int_0^\infty C_2(s)e^{-kts^2}\cos xs~ds$

$\theta(0,t)=T_0e^{-bt}$ :

$\int_0^\infty C_2(s)e^{-kts^2}~ds=T_0e^{-bt}$

$C_2(s)=T_0\delta\left(s-\sqrt{\dfrac{b}{k}}\right)$

$\therefore\theta(x,t)=\int_0^\infty C_1(s)e^{-kts^2}\sin xs~ds+\int_0^\infty T_0\delta\left(s-\sqrt{\dfrac{b}{k}}\right)e^{-kts^2}\cos xs~ds$

$\theta(x,t)=\int_0^\infty C_1(s)e^{-kts^2}\sin xs~ds+T_0e^{-bt}\cos\sqrt{\dfrac{b}{k}}x$