Prueba de verificación: $|x-y|<ε\Leftrightarrow y-ε<x<y+ε$

Question

Es la Siguiente Prueba de la Correcta?

Deje $x,y$ ser números reales y deje $ε>0$ ser un real positivo. Mostrar que $|x-y|<ε$ si y sólo si $y-ε<x<y+ε$.

Prueba. Suponga que $|x-y|<ε$, la proposición 5.4.7 implica que los $x=y$, $x>y$ o $x<y$. En el primer caso, la demanda en cuestión se simplifica a $x-ε<x<x+ε$ lo cual es evidente si tenemos en cuenta que el $ε>0$.

En el caso de $x>y$ se sigue que $|x-y| = x-y<ε$ o, equivalentemente,$x<y+ε$. Además desde $y<x$ e $ε>0$ se sigue que $y-ε<x$ en conclusión $y-ε<x<y+ε$. Del mismo modo, en el caso de que la $x<y$ se sigue que $|x-y| = y-x<ε$, añadiendo $x-ε$ a ambos lados da $y-ε<x$. Además desde $x<y$ e $ε>0$ se sigue que $x<y+ε$ lo $y-ε < x < y+ε$.

Por el contrario suponer que $y-ε<x<y+ε$ o, equivalentemente,$-ε<x-y<ε$. De nuevo por la tricotomía $x-y=0$ o $x-y<0$ o $x-y>0$. Atendiendo a cada caso en orden, vemos que si $x-y=0$ entonces $|x-y| = |0|=0<ε$. Ahora si $x-y<0$ entonces $|x-y| = -(x-y)=y-x$ pero $-ε<x-y$ o, equivalentemente,$y-x<ε$, lo $|x-y|<ε$. Por último, si $x-y>0$ entonces $|x-y| = x-y<ε$.

$\blacksquare$

Answer 1

La prueba podría haber sido más corto usando el valor absoluto propiedades.

Tenga en cuenta que $$ |x-y|<\epsilon\iff -\epsilon < x-y < \epsilon\iff y-\epsilon < x < y+ \epsilon$$

Answer 2

Creo que nuestros OP Atif Farook la prueba está bien, pero siguiendo todos los casos es un poco compleja tarea. Si definimos $\vert z \vert$ como

$z \ge 0 \Longrightarrow \vert z \vert = z, \tag 1$

$z < 0 \Longrightarrow \vert z \vert = -z, \tag 2$

que parece que no, entonces podemos proceder en menor orden con la ayuda de la

Lema: $\vert z \vert < \epsilon \Longleftrightarrow -\epsilon < z < \epsilon$.

La prueba del Lema:

$\Longrightarrow:$ Da $\vert z \vert < \epsilon$, para $z \ge 0$, $-\epsilon < z = \vert z \vert < \epsilon$; para $z < 0$, $-\epsilon < -z = \vert z \vert < \epsilon \Longrightarrow -\epsilon < z < \epsilon$; por tanto, en ambos casos, $-\epsilon < z < \epsilon$;

$\Longleftarrow:$ Da $-\epsilon < z < \epsilon$, tenemos $-\epsilon < -z < \epsilon$; así $z \ge 0 \Longrightarrow \vert z \vert = z < \epsilon$; $z < 0 \Longrightarrow \vert z \vert = -z < \epsilon$.

Final: la Prueba del Lema.

Ahora tomando la $z = x - y$ vemos que

$\vert x - y \vert < \epsilon \Longleftrightarrow -\epsilon < x - y < \epsilon \Longleftrightarrow y - \epsilon < x < y + \epsilon. \tag 3$

Como mi colega Mohammad Riazi-Kermani afirmó, la prueba se acorta usando las propiedades de la $\vert \cdot \vert$, uno de los cuales hemos desarrollado aquí en el Lexema.

Answer 3

$% \requieren{begingroup} \begingroup \newcommand{\calc}{\begin{align} \quad &} \newcommand{\op}[1]{\\ #1 \quad & \quad \unicode{x201c}} \newcommand{\hints}[1]{\mbox{#1} \\ \quad & \quad \phantom{\unicode{x201c}} } \newcommand{\hint}[1]{\mbox{#1} \unicode{x201d} \\ \quad & } \newcommand{\endcalc}{\end{align}} \newcommand{\Ref}[1]{\text{(#1)}} \newcommand {\, a continuación,} {\Rightarrow} \newcommand{\cuando}{\Leftarrow} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\equiv}{\Leftrightarrow} %$

Usted parece estar usando la siguiente definición básica o de propiedad de valor absoluto: si $\;z \ge 0\;$ entonces $\;|z| = z\;$ y más $\;|z|=-z\;$.

Para un cálculo directo podría ir de la siguiente manera: $$\calc |x-y| < \eps \op\equiv\sugerencias{split en $\;x-y \ge 0\;$; el uso de la definición anterior}\sugerencias{-- elegimos $\;(P \then \ldots) \land (\lnot P \then \ldots)\;$ sobre el}\sugerencias{equivalente $\;(P \land \ldots) \lor (\lnot P \land \ldots)\;$ para el caso de división,}\sugerencia{así que tenemos $\;\land\;$ en el exterior, como en nuestro objetivo} (x-y \ge 0 \entonces x-y < \eps) \;\de la tierra\; (x-y < 0 \, a continuación,- (x-y) < \eps) \op\equiv\sugerencia{lógica: expandir $\;\then\;$; aislar $\;x\;$, como en nuestro objetivo} (x < y \lor x < y+\eps) \;\de la tierra\; (y \le x \lor y-\eps < x) \op\equiv\sugerencia{aritmética: simplificar el uso de $\;\eps > 0\;$} x < y + \eps \;\de la tierra\;y - \eps < x \endcalc$$

$% \endgroup %$