El natural de mapa de $M \to M \otimes_R K$ es inyectiva iff $M$ es libre de torsión

Question

Estoy leyendo algunas notas de la conferencia de Pete L. Clark, y hay un problema que no puedo resolver. Está en la página 45 de este libro: Álgebra Conmutativa. El problema se lee como sigue:

Ejercicio 3.42

Vamos a R un dominio con fracción de campo K.

1. Demostrar que K es una forma única divisible $R-$módulo. (Creo que lo entiendo, pero no estoy seguro, no es esta la forma en que construimos una fracción de campo de un dominio?)

2. Deje $M$ ser cualquier $R-$módulo. Muestran que el natural mapa de $M \otimes M \otimes_R K$ es inyectiva iff $M$ es de torsiones.

Yo creo que el autor hizo una pequeña errata aquí, debe leer $M \to M \otimes_R K$, en lugar de $M \otimes M \otimes_R K$, ¿mi corrección se vea bien? O debe ser corregido en otra forma?

Aquí es donde tengo ni idea, puedo demostrar $M \to M \otimes_R K$ es inyectiva $\Rightarrow$ $M$ es de torsiones por la Prueba por Contradicción. Pero, ¿cómo puedo probar que es al revés? Yo estaría muy contento si alguien me puede dar un empujón a esto.

3. Demostrar que para cualquier $R-$módulo $M$, $M \otimes_R K$ única es divisible.

Puedo demostrar que es divisible, pero necesito 2. para demostrar que es única divisible?

4. Mostrar que $K / R$ es divisible, pero no únicamente divisible.

Tengo esta parte. :)

Creo que estoy teniendo algunos problemas con el Producto Tensor, es bastante difícil de visualizar cuáles son sus elementos son, como no tengo idea de lo que 0 se parece. Yo no sé que $0 \otimes k = m \otimes 0 = 0$, pero que no todos los 0 en $M \otimes_R K$.

Así, gracias a cada uno,

Y tener un buen día,

Answer 1

En este caso, $M\otimes_R K$ es la localización de la $S^{-1}M$ donde $S=R\setminus\lbrace 0\rbrace$. Vamos $\varphi:M\rightarrow S^{-1}M$, $\varphi(x)=\frac{x}{1}$. Entonces:

$$ \varphi(x)=\frac{x}{1}=\frac{0}{1}\Longleftrightarrow\existe~0\ne r\R\text{ tales que }r\cdot(1\cdot x-1\cdot 0)=r\cdot x=0 $$

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Para responder a su pregunta acerca de donde la equivalencia viene de:

La proposición. Deje $R$ ser un anillo, $S\subset R$ un multiplicatively conjunto cerrado, y deje $M$ ser $R$-módulo. A continuación,$S^{-1}M\cong M\otimes_R S^{-1}R$.

Prueba. Vamos $\varphi:M\times S^{-1}R\rightarrow S^{-1}M$, $\varphi(m,\frac{r}{s})=\frac{rm}{s}$. Uno puede mostrar que este mapa es bilineal, y así induce una bien definida mapa $\psi:M\otimes_R S^{-1}R\rightarrow S^{-1}M$, $\psi(m\otimes\frac{r}{s})=\frac{rm}{s}$ por el universal de la propiedad. Por último, comprobamos que $\psi$ es un isomorfismo:

Surjectivity. $\psi(m\otimes\frac{1}{s})=\frac{m}{s}$.

De inyectividad. Primera nota de que cada elemento de $M\otimes_R S^{-1}R$ tiene la forma $m\otimes\frac{1}{s}$, ya que: $$ (m_1\otimes\frac{r_1}{s_1})+\cdots+(m_n\otimes\frac{r_n}{s_n})=(m_1\otimes\frac{r'_1}{s})+\cdots+(m_n\otimes\frac{r'_n}{s}) $$ donde $s=s_1\cdots s_n$ (sólo poner las fracciones más de un denominador común). Pero: $$ (m_1\otimes\frac{r'_1}{s})+\cdots+(m_n\otimes\frac{r'_n}{s})=(r'_1m_1+\cdots+r'_nm_n)\otimes\frac{1}{s} $$ a partir de las propiedades del producto tensor. Ahora supongamos que $\psi(\frac{1}{s}\otimes m)=0$. A continuación,$\frac{m}{s}=0$, e $tm=0$, para algunas de las $t\in S$. Finalmente: $$ m\otimes\frac{1}{s}=m\otimes\frac{r}{ts}=tm\otimes\frac{1}{ts}=0\otimes\frac{1}{ts}=0 $$ y $\psi$ es inyectiva. QED