No, no podía. La mayoría de los ángulos se pueden encontrar a través de la Geometría básica, pero los dos últimos (incluyendo el deseado $\angle BDA$) requerirá de la Trigonometría. Me hizo probar un sistema de ecuaciones basadas en la $(1)$$(4)$, pero llegó a $68^\circ=B\hat{D}A+68^\circ-B\hat{D}A\iff0=0$: nada útil.
Pongamos nombre a el punto de cruce de las diagonales $O$.
$$
C\hat{S}B=180^\circ-B\hat{C}-D\hat{B}C=112^\circ\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)\\
B\hat{S}=180^\circ-C\hat{S}B=68^\circ\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\\
D\hat{S}C=B\hat{S}=68^\circ\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)\\
Un\hat{S}D=C\hat{S}B=112^\circ\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)\\
C\hat{D}B=180^\circ-\hat{C}D-D\hat{S}C=64^\circ\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)\\
B\hat{A}C=180^\circ-B\hat{S}-\hat{B}D=74^\circ\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)\\
$$
(los números entre paréntesis son la base de la Geometría de las reglas que se utilizan de referencia a continuación. Yo uso el sombrero para referirse a el vértice del ángulo, y el 3-combinación de letras para referirse a la amplitud de los respectivos ángulo, siendo las letras " con el fin de siempre de la izquierda)
$(1)$ la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es $180^\circ$
$(2)$ ángulos suplementarios suma a $180^\circ$
$(3)$ verticalmente ángulos opuestos son iguales en amplitud
$(4)$ la suma de los ángulos internos de cualquier cuadrilátero es $360^\circ$
Por $(1)$ (e $(4)$ trabaja demasiado) sabemos $68^\circ=D\hat{A}C+B\hat{D}A$, sin embargo, ni algebra ni la Geometría básica nos llevará más (yo pensaba que había una regla en la Geometría para esto, sin embargo, se requiere la existencia de unas líneas paralelas, como la de un trapecio).
El camino más difícil el método por el que requiere la Trigonometría, por lo que sin duda sabe todo el resto (que yo pueda añadir, pero no la solicitud, y estoy un poco oxidado en esa área).
