Intersección de imágenes y unión de núcleos.

Question

Dejemos que $A$ sea un anillo (no necesariamente conmutativo), sea $M$ ser un $A$ -y que $u: M \to M$ ser un $A$ -morfismo de módulo. Pongamos $$\text{Image}(u^\infty) := \bigcap_{k=1}^\infty \text{Image}(u^k),\text{ resp. }\text{Ker}(u^\infty) = \bigcup_{k=1}^\infty \text{Ker}(u^k).$$ Son $\text{Image}(u^\infty)$ y $\text{Ker}(u^\infty)$ necesariamente $A$ -submódulos en $M$ ?

Answer 1

Sí. Utilice los siguientes hechos para demostrarlo:

1. Los núcleos y las imágenes son submódulos

2. La intersección de los submódulos son submódulos. Así que $\operatorname{Im}(u^{\infty})$ es un submódulo

3. Si $C$ es una cadena de submódulos, entonces $\bigcup C$ es un submódulo. Dado que $\ker(u^n) \subset \ker (u^{n+1})$ para todos $n$ , $\ker (u^{\infty})$ es un submódulo.

Answer 2

La intersección de cualquier familia de submódulos es un submódulo. Para los núcleos, es cierto porque los diferentes $\ker u^k$ se ordenan linealmente (en realidad, es un límite directo), por lo que si se toma $x\in\ker u^k$ , $y\in\ker u^l$ para algunos $k,l$ uno de ellos contenido en el otro, digamos $\ker u^k\subseteq\ker u^l$ Por lo tanto $x+y$ existe en $\ker u^l$ .