Integrar la función $\int \sqrt{2+ e^{2t} + e^{-2t} } \; dt$

Question

No estoy seguro de cómo resolver esta longitud de arco. El problema original dice que hay que encontrar la longitud de arco de

$r(t) = \langle \sqrt{2}t, e^t, e^{-t} \rangle $

derivando llego a

$r'(t) = \langle \sqrt{2}, e^t, -e^{-t} \rangle $

Utilizando la fórmula de la longitud de arco llego a

$\int \sqrt{2+ e^{2t} + e^{-2t} } \; dt$

Soy consciente de

$e^{2t} + e^{-2t} = 2 \cosh \, 2t$

a través de WolframAlpha, pero estoy seguro de cómo esto podría ayudar con la integración. ¡Se agradece cualquier ayuda!

Answer 1

Una pista:

$$e^{2t}+e^{-2t}+2=(e^t)^2+(e^{-t})^2+2e^t\cdot e^{-t}=(e^t+e^{-t})^2$$

y de verdad $a, e^t,e^{-t}>0$

Por fin de verdad $x,|x|=+x$ si $x\ge0$

Answer 2

$$\int \sqrt{2+e^{2t}+e^{-2t}}\;\mathrm dt=\int\sqrt{(2\cosh t)^2}\;\mathrm dt=\int2\cosh t\;\mathrm dt =2\sinh t.$$

Answer 3

Siguiendo tu propia pista,

$$2+e^{2t}+e^{-2t}=2+2\cosh2t=4\cosh^2t.$$

El resto es inmediato.