Presentación de un grupo no trivial.

Question

Estoy teniendo algunos problemas para entender las presentaciones de grupo. Por ejemplo, estoy informado de manera confiable que el grupo

$$ \ langle x, y \ mid x ^ 2 = y ^ 3 \ rangle $$

¿No es el grupo trivial, pero no veo por qué no? ¿Por qué no podría ser?

Cualquier ayuda apreciada, gracias!

Answer 1

Más en general, a cualquier grupo de la $G$ definido por un número finito de presentación con más generadores de relaciones es infinito - en el hecho de $G/[G,G]$ es infinito. Que se desprende de la prueba del teorema fundamental de abelian grupos.

Usted puede probar directamente, por mostrar que existe un trivial epimorphism $\phi$ a ${\mathbb Z}$. Deje $\phi:G \to {\mathbb Z}$ ser cualquier homorphism, que se asigna generador de $x_i$ a $t_i \in {\mathbb Z}$. A continuación, las condiciones de $\phi(r)=1$ para el grupo de relaciones de $r=1$, reducir a un sistema homogéneo de ecuaciones lineales sobre ${\mathbb Z}$. Si hay más generadores de relaciones, entonces usted tiene más variables que ecuaciones, y por tanto siempre hay una solución no trivial sobre ${\mathbb Z}$, lo que define un trivial $\phi$.

Answer 2

Dejar $z = x^2 = y^3$. Este elemento conmuta claramente con$x$ y$y$. Por lo tanto,$z$ se encuentra en el centro y$\langle z \rangle$ es un subgrupo normal. Tenemos: $$ G / \ langle z \ rangle = \ langle x, y \ mid x ^ 2 = y ^ 3 = 1 \ rangle. $$

Ahora la abelianización de este grupo de cocientes es$\Bbb Z_2 \times \Bbb Z_3$, lo cual es claramente no trivial.

Answer 3

Si este fue el trivial grupo, entonces implicaría que para cualquier grupo de $G$ e $x,y\in G$ con $x^2=y^3$ se sigue que $x=y=1$. Sin embargo, eso no es cierto, por ejemplo, considerar los elementos de orden $2$ e $3$ en el grupo simétrico de $3$ elementos. (Este ejemplo también muestra que $x$ e $y$ no necesita tiempo de viaje, por lo que no conmutan en tu grupo).

Del mismo modo, desde la $2\cdot 3=3\cdot 2$, hay un homomorphism de su grupo a $\mathbb Z$, que envía a $x$ a $3$ e $y$ a $2$. Esto demuestra que $x$ e $y$ no son de orden finito.

(Por cierto, este es el grupo de un nudo, el $(3,2)$-toro nudo, y de ahí su abelianization es $\mathbb Z$.)

Answer 4

Las otras dos respuestas hablar de homomorphisms. es decir, el grupo tiene una imagen que no es trivial y por lo que el grupo en sí no es trivial. Otro enfoque es encontrar algo que su grupo actúa en. Esto es lo que voy a hacer aquí. Afirmo que esto nos dice mucho más sobre el grupo que simplemente la investigación de la homomorphisms, aunque la única evidencia que se de esta demanda es que el campo de la geométrica grupo de teoría existe!

En primer lugar, su grupo va a actuar sobre un árbol. Es llamado un producto libre y gratuito de amalgamación, y todos esos grupos actúan en los árboles, en una no-forma trivial. Sin embargo, la correspondiente Bass-Serre árbol no es muy agradable, así que voy a contarles acerca de un bonito árbol sobre las que el grupo actúa.

Considerar la infinita árbol donde cada vértice tiene grado dos o tres, y no dos vértices del mismo grado es el incidente. Equivalentemente, tomar el árbol infinito donde cada vértice tiene grado tres y luego dividir cada borde en el centro en dos bordes con un vértice común. Su grupo actúa en este árbol, como si corrige un vértice $V_x$ de valencia $2$ y el otro $V_y$ de valencia $3$ entonces $x$ actos girando el árbol de alrededor de $V_x$ mientras $y$ actos girando el árbol de alrededor de $V_y$. Como $x^2$ e $y^3$ arreglar el árbol, el grupo actúa en el árbol. Como esta acción no es trivial el grupo no es trivial.

EDIT: debo decir que esta realidad está demostrando que el grupo tiene el producto libre $C_2\ast C_3$ como homomórfica de la imagen y la acción que se investiga este grupo. Sin embargo, la idea de que es un sistema robusto, y se puede utilizar para investigar a todo el grupo. Pero que es mejor hacer en los confines de su propia habitación, en lugar de en el internet - el árbol es bastante llena de infinito...