$X$ es una variable aleatoria, si $\Bbb E(X^2)=1$ y $\Bbb E(X)\geq a>0$ , demuestre que $\Bbb P(X\geq\lambda a)\geq(a-\lambda a)^2$ para $0\leq\lambda\leq 1$ .

Question

Este es un problema en la obra de KaiLai Chung Curso de teoría de la probabilidad .

Dada una variable aleatoria no negativa $X$ definido en $\Omega$ , si $\mathbb{E}(X^2)=1$ y $\mathbb{E}(X)\geq a >0$ , demuestre que $$\mathbb{P}(X\geq \lambda a)\geq (a-\lambda a)^2$$ para $0\leq\lambda \leq 1$ .

Dejemos que $A=\{x\in \Omega:X(x)\geq \lambda a\}$ obtenemos $$\int_A (X-\lambda a)\geq a-\int_A\lambda a -\int_{A^c}X$$ y $$\int_A (X^2-\lambda^2 a^2)=1-\int_A\lambda^2a^2-\int_{A^c}X^2$$ Quiero contrastar $\int_A (X-\lambda a)$ y $\int_A (X^2-\lambda^2 a^2)$ pero no sé cómo hacerlo, ¿alguien podría darme alguna pista?

Answer 1

Usted tiene $$ a\le\mathbb E(X) = \int_{X\le\lambda a}X\,dP + \int_{X\ge\lambda a}X\,dP\,\le\,\lambda a + \int_{X\ge\lambda a}X\,dP. $$ Por lo tanto, $$ a(1-\lambda)\,\le\,\int_{X\ge\lambda a}X\,dP\,\le\,\left(\int_{X\ge\lambda a}X^2\,dP\right)^{1/2}\cdot P(X\ge\lambda a)^{1/2}\,\le\,P(X\ge\lambda a)^{1/2}. $$ Cuadra esto y ya está.