Probabilidad de A dada B

Question

En el instituto, a menudo nos hacían preguntas del tipo "¿Cuál es la probabilidad de A dado B?" Por ejemplo:

¿Cuál es la probabilidad de que dos personas hayan nacido el mismo día dado que que una de ellas ha nacido un martes?

Intuitivamente, la mayoría de la gente espera que saber que alguien ha nacido un martes no le dé ninguna información, ya que no es diferente de haber nacido un lunes o un miércoles. Sin embargo, la respuesta que se da es que estamos buscando parejas de personas con al menos una nacida en martes (13 de 49) y sólo una de estas parejas tiene a ambas personas nacidas el mismo día, por lo que la respuesta es 1 de cada 13. Si con "dado que uno ha nacido en martes", se quiere decir que los cumpleaños de las dos personas se distribuyen uniformemente entre todas las parejas posibles en las que al menos uno ha nacido en martes", entonces este análisis es correcto.

Sin embargo, la pregunta formulada sólo dice que se nos "da" este hecho. No explica cómo hemos llegado a conocer este hecho. Supongamos que alguien suelta este hecho al azar. Por lo general, no sería porque miraran grupos de personas y los descartaran hasta encontrar un par en el que al menos uno hubiera nacido en martes. En su lugar, creo que sería mejor modelarlo como si alguien obtuviera al azar un par de personas y luego hiciera una afirmación verdadera sobre ellas. Para simplificar, supondremos que las afirmaciones son de la forma "Una de estas personas nació en un (INSERTAR DÍA)". Supondremos que si han nacido en días diferentes, cada uno de ellos tiene la misma probabilidad. En este modelo, la afirmación de que alguien ha nacido un martes no influye en la probabilidad de que hayan nacido el mismo día.

Parece que parte del problema proviene de dar a la palabra "dado" (a menudo representada por el símbolo |) una definición formal. La gente espera que tenga el mismo significado que la palabra inglesa given. En fin:

1. ¿Hay alguna palabra que pueda usar en lugar de "dado" para ser más claro?
2. ¿Se oponen los matemáticos a que el problema se plantee así, o se considera que está claro? Si lo hacen, ¿por qué el símbolo "|" suele pronunciarse como "dado"?
3. ¿Las personas que asistieron a la escuela secundaria en otros países tienen clara esta diferencia?

Answer 1

Es muy cierto que los enunciados y problemas sobre probabilidad condicional se presentan a menudo de forma ambigua. El problema no está específicamente en el término "dado", creo, sino en el hecho de que la presentación no deja claro cuál es el espacio muestral y cuáles son las distribuciones (típicamente algunas cosas se asumen, sin comentarios, como uniformes).

Así que, para responder específicamente a sus preguntas:

1. No, no que yo sepa. Si las variables están claramente definidas, el uso de "dado" para indicar la probabilidad condicional es común y está perfectamente bien.

2. Si he entendido bien la pregunta (parece que falta una palabra), la mayoría de los matemáticos no consideran suficientemente claras las fórmulas que usted ha mencionado. Véase Comentarios de Peter Winkler en exactamente este tipo de problemas.

3. No en el país en el que fui al instituto :-)

Answer 2

No creo que haya ninguna ambigüedad en el uso de la palabra "dado" aquí, pero sí creo que hay que aprender la forma en que se utiliza en la probabilidad condicional.

Si la gente no está familiarizada con el uso de los términos, por supuesto que puede haber malentendidos. Hay algunos comentarios interesantes sobre la ambigüedad en este tipo de preguntas en este artículo de la wikipedia.

(Esta frase del artículo me hizo sonreír: Muchas personas, entre ellas profesores de matemáticas, argumentaron con fuerza a favor de ambos bandos con gran confianza, mostrando a veces desprecio por los que adoptaban la opinión contraria).

Answer 3

Dudo en utilizar una respuesta para responder, en lugar de un comentario, porque la respuesta parece ser simplemente una cuestión de semántica.

Veamos una cuestión similar:

"¿Cuáles son las probabilidades de que dos personas sean del mismo género?"

Y su contraparte:

"¿Cuáles son las probabilidades de que dos personas del mismo sexo, si supiéramos que uno de ellos es un chico?"

Las preguntas son intrínsecamente diferentes. La respuesta a la primera se puede ver trazando todas las posibilidades dentro de las limitaciones (no hay limitaciones), y se puede ver que es 2/4, o el 50%

La segunda se puede ver haciendo una tabla con todas las posibilidades y eliminando las que no están permitidas (dos chicas), y veremos que la respuesta es 1/3, es decir, alrededor del 33%.

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Para una respuesta algo intuitiva de "cómo" sabemos algo, podemos utilizar un modelo estadístico. Digamos que queremos encontrar las probabilidades de la segunda pregunta. Podríamos realizar una encuesta, preguntando en un mundo perfecto: (donde ambos géneros tienen la misma probabilidad)

"Cualquiera que tenga dos hijos, siendo uno de ellos varón, responde si tiene dos varones o no".

Esta encuesta le daría el 33% que nuestro método de "chart-all-the-possibilities" nos haría esperar. No hay ambigüedades porque vemos la respuesta muy claramente real y evidente.

Pero este es un sitio de matemáticas, y he sacado a relucir la estadística, así que probablemente me maten mientras duermo.

Answer 4

Dada es una forma precisa y aceptable de formular esta pregunta. El truco está en entender cuándo las condiciones dadas afectan a las probabilidades y cuándo no. En este caso, la probabilidad no se ve afectada. Sabemos que la primera persona nació un martes. Ahora, para responder a la pregunta "¿cuál es la probabilidad de que ambas personas hayan nacido el mismo día, dado que una de ellas nació un martes?", sólo tenemos que determinar la probabilidad de que la segunda persona también haya nacido un martes. Por tanto, la respuesta es 1/7.

Sin la condición dada, llegamos a la misma respuesta. Independientemente del día de la semana en que cumpla años la primera persona, sigue habiendo una probabilidad de 1/7 de que la segunda persona comparta ese mismo día de la semana.

Por último, la respuesta sería muy diferente si se formulara como "¿Cuál es la probabilidad de que ambas personas hayan nacido en martes?" Ahora la probabilidad de que la primera persona haya nacido en martes es de 1/7 (frente a 1/1 cuando se "da" que la persona ha nacido en martes). La probabilidad de que la segunda persona también haya nacido en martes es de 1/7. Así que la probabilidad de que ambos hayan nacido en martes es 1/7 X 1/7 = 1/49