Torneo de ajedrez con 3 ganadores

Question

$20$ los ajedrecistas participan en un torneo en el que cada jugador juega con cada uno de los demás una sola vez. El primer $3$ los jugadores recibirán un premio. Hay $2$ puntos para el ganador, ningún punto para el perdedor y, en caso de empate, cada jugador recibe $1$ punto. ¿Cuál es el menor número de puntos para garantizar que algún jugador quede entre los tres primeros?

Mi enfoque es un poco simplista: Todos los pares posibles son $20C2 = 190$ .

Todos los puntos posibles son $2 \times 190 = 380$ porque para cada par, el número total de puntos es $2$ (o bien $2+0$ o $1+1$ ).

Así que el número medio por jugador es $380/20 = 19$ .

Por lo tanto, si alguien consigue $20$ puntos, estará en el top $3$ ¿verdad?

Answer 1

En Hagen von Eitzen obtengo la misma respuesta, pero con un razonamiento algo diferente.

Supongamos que llego tarde al torneo, y que los demás jugadores ya han jugado entre ellos, por lo que sólo mi $19$ partidos que quedan por jugar. Todo lo que tengo que hacer es superar a uno de los tres primeros de la lista actual. ¿Qué tan difícil puede ser eso?

Bueno, el peor de los casos es que los tres primeros clasificados ganen cada uno a todos los demás $16$ jugadores, de modo que, independientemente de cómo se $6$ puntos de los tres partidos entre sí se reparten, tienen un total de $3\cdot2\cdot16+6=102$ puntos (para una media de $34$ puntos). Además, lo peor que me puede pasar es que las derrotas o los empates en los que incurra se produzcan contra uno o varios de los tres primeros clasificados actuales.

Ahora bien, si marco $36$ o más, el total de los tres primeros actuales llega como máximo a $104$ para una media de menos de $36$ . Eso significa que he superado al menos a uno de ellos, lo que me sitúa entre los tres primeros. Por otro lado, si solo puntúo $35$ su total puede ir a $105$ que permite un empate a cuatro, por ejemplo, si todos empatamos y ganamos a todos los demás. Eso sí no me garantizan un final entre los tres primeros.

Answer 2

Considere 3 jugadores A, B y C. Ahora A gana a B, B gana a C y C gana a A. Todos ellos ganan sus partidos restantes. Así que los tres tienen 18 victorias y 1 derrota. En otras palabras, cada uno tiene 36 puntos. Como todos los demás jugadores han perdido contra A, B y C, ninguno de ellos puede alcanzar más de 32 puntos.

Por lo tanto, si alcanzas 36 puntos estás seguro de estar entre los 3 primeros.

Como se mencionó anteriormente, si otros 3 jugadores que tú alcanzan 36 puntos, puedes tener como máximo 32 puntos (ya que has perdido con A, B, C). Si superas los 32 puntos, significa que empiezas a quitarle puntos a A, B o C.

Ahora suponga que juega un empate con los tres. Eso te llevaría a 35 puntos y también a ellos a 35. Así que ahora hay cuatro personas con 35.

Por lo tanto, 35 puntos no son suficientes para asegurar estar entre los tres primeros, ya que cuatro jugadores pueden alcanzar esa puntuación.

En consecuencia, la respuesta es 36 puntos.

Editar

Una forma alternativa de explicarlo.

Situación 1: A gana a B, B gana a C y C gana a A. Todos ellos ganan sus partidos restantes. Cada uno de ellos tiene 18 victorias y 1 derrota, es decir, 36 puntos. Ningún otro jugador puede superar los 32 puntos, ya que todos han perdido contra A, B y C.

Situación 2: A gana a B, B gana a C y C gana a A. A, B y C empatan con D. Todos ganan sus partidos restantes. A, B y C tienen 17 victorias, 1 empate y 1 derrota, es decir, 35 puntos. El jugador D tiene 16 victorias, 3 empates y 0 derrotas, es decir, 35 puntos.

Así que la situación 2 no es suficiente para asegurar los tres primeros puestos ya que hay cuatro jugadores con 35 puntos.

En consecuencia, la respuesta es 36 puntos.

Answer 3

Una prueba corta - corta porque no entra en el análisis del caso:

36 es suficiente: Un jugador puede conseguir como máximo 19 victorias. Contamos un empate como media derrota. Si obtiene 36 puntos, entonces tiene 1 pérdida (en realidad podrían ser dos medias pérdidas, es decir, dos empates). Suponga que otros tres jugadores son iguales o mejores que usted, entonces los 4 tienen colectivamente 4 (o menos) pérdidas. Sin embargo, los 4 jugaron entre sí en 6 partidas, y entre sólo esas 6 partidas deben tener colectivamente 6 pérdidas. Esto es una contradicción.

36 es necesario: 4 jugadores pueden obtener 35 puntos cada uno: empatando entre ellos (vale 3 pts) y luego ganando a los otros 16 jugadores (vale 32 pts).