Una desigualdad aparentemente simple.

Question

Me gustaría demostrar que, para $\theta,\lambda\in[0,\pi/2)$ e $\phi\in[0,2\pi)$, uno siempre tiene

$$\left| \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\lambda}{2}\right)+\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\sin\left(\frac{\lambda}{2}\right)e^{-i\phi} \right|> \left| \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\sin\left(\frac{\lambda}{2}\right)+\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\lambda}{2}\right)e^{-i\phi} \right|,$$ donde $|\cdot|$ indica el módulo complejo. Mediante el trazado de las dos funciones como funciones de dos parámetros ($\lambda$,$\phi$), con la tercera ($\phi$) elegido al azar, es claro que la relación es verdadera. Sin embargo, me pareció bastante difícil de demostrar.

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Si alguien está interesado, estas relaciones vienen de la amplitud de la realización de un general cuántica de la medición $$|\theta,\phi\rangle:=\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)|0\rangle+e^{i\phi}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)|1\rangle$$ en los siguientes dos qubits $$ \begin{split} |v\rangle &:= \cos\left(\frac{\lambda}{2}\right)|0\rangle+\sin\left(\frac{\lambda}{2}\right)|1\rangle\\ |w\rangle &:= \sin\left(\frac{\lambda}{2}\right)|0\rangle+\cos\left(\frac{\lambda}{2}\right)|1\rangle \end{split} $$

Answer 1

Al factorizar los cosenos (siempre son positivos), debe mostrar que$$ |1 + \tan(\theta/2) \tan(\lambda/2) e^{-i\phi}| > |\tan(\lambda/2)+\tan(\theta/2)e^{-i\phi}|,$ $ o, de manera equivalente, que para cualquier$x,y \in [0,1)$,$\phi \in [0, 2\pi]$,$$ |1 + x\,y\, e^{i\phi}| > |x+y\,e^{i\phi}|.$ $ Al cuadrar cada lado y en desarrollo, esto es equivalente a$$1 + x^2 y^2 + 2 xy\cos(\phi) > x^2 + y^2 + 2xy \cos(\phi), $ $, por lo que queda para mostrar que$1 + x^2 y^2 > x^2 + y^2$ para$x,y\in [0,1)$. Pero esto sigue simplemente de$$ x^2 + y^2 - x^2y^2 = x^2(1-y^2) + y^2 < 1-y^2 + y^2 = 1.$ $