Ramificación de un primo en un anillo de Dedekind y curvas.

Question

Deje $\phi:C_1\to C_2$ ser un no constante mapa de dos curvas suaves sobre algunos algebraicamente cerrado campo de $K$ y dejar $P\in C_1$. $\phi$ nos da un inducida por el mapa de campos $\phi^*:K(C_2)\to K(C_1)$, $\phi^*:f \mapsto f\circ \phi$. Silverman define en su libro sobre curvas elípticas que el grado de ramificación de este mapa se define como

$$e_\phi(P)=\textrm{ord}_P(\phi^*t_{\phi(P)}),$$

donde el orden es sólo el normalizados de valoración de la DVR $K[C_1]_P$ e $t_{\phi(P)}$ denota una uniformizer de $K[C_2]_Q$ donde $Q=\phi(P)$. Estoy tratando de escribir explícitamente la conexión entre este y el correspondiente grado de ramificación en los dominios de Dedekind, desde Silverman parece insinuar que ellos están de acuerdo.

Deje $\mathfrak{m}_Q$ denotar el máximo ideal de la $A=\phi^*K[C_2]_Q$ y deje $B$ ser la integral de cierre de $A$ en $K(C_1)$. Ya, $A$ es un DVR, sabemos que $B$ es Dedekind y tenemos una factorización

$$\mathfrak{m}_QB = \mathfrak{P}_1^{e_1}\cdots \mathfrak{P}_n^{e_n}.$$

Para obtener una buena descripción de la ramificación de grado en la configuración de estos anillos de Dedekind, tendría que demostrar que:

1. Hay un bijection entre los números primos $\mathfrak{P}_i$ y los puntos de $P\in \phi^{-1}(Q)$.

2. Si $P$ corresponde a algunos de los $\mathfrak{P}_i$,, a continuación,$e_\phi(P)=e_i$.

¿Alguien sabe cómo se hace? Mi conjetura es que ambas deben ser simples aplicaciones de la Nullstellensatz. Estoy pegado aquí con el problema que tenía en una pregunta que le hice ayer:

Tratando de analizar una definición en Silverman CE del libro

El problema es que no sé cómo concretamente calcular el mapa de $\phi^*$ y también tengo problemas para averiguar lo $\mathfrak{m}_Q$ debe ser similar. Por el Nullstellensatz, sabemos que es de la forma:

$$(X_1-a_1,\ldots,X_n-a_n),$$

Supongo que en el espacio proyectivo $Q=[a_1,\ldots,1,\ldots,a_n]$, donde el $1$ está en la posición $i$ correspondiente a la incorporación de la $\mathbb{A}^n$ a $\mathbb{P}^n$? Pero entonces habría que expresar $\phi^*\mathfrak{m}_Q$ explícitamente y aquí está de nuevo a la izquierda con el problema de manera concreta escribir lo $\phi^*$ es con el fin de utilizar el Nullstellensatz en $B$.

Answer 1

Yo debería saber estas cosas más a fondo, pero si mi memoria me sirve bien...en los reinos de la geometría algebraica podemos ver espec$(\mathfrak{O}_K)$ como una especie de curva. Esto es sólo la recopilación de primer ideales de $\mathfrak{O}_K$.

Ahora se le da una extensión de los campos de número de $L/K$ tenemos el mapa de espec$(\mathfrak{O}_L)$ a espec$(\mathfrak{O}_K)$ que envía un alojamiento ideal $\mathfrak{P}$ para el primer ideal $\mathfrak{P}\cap\mathfrak{O}_L = \mathfrak{p}$.

El retroceso de un uniformizer es la misma noción, como tirando hacia atrás de $\mathfrak{p}$ a un ideal $\mathfrak{p}\mathfrak{O}_L$ de %de$\mathfrak{O}_L$.

A continuación, la noción de orden en $P$ se traduce en el orden en $\mathfrak{P}$, es decir, el índice de ramificación.

Así que aquí $\text{ord}_P (\phi^{\star}t_{\phi(P)})$ es lo mismo que $\text{ord} _{\mathfrak{P}}(\mathfrak{p}\mathfrak{O}_L)$.