cuántos subgrupos transitivos abelianos de$S_{n}$

Question

Es bien sabido que cualquier subgrupo A transitivo abeliano de un grupo simétrico $S_{n}$ tiene orden $n$ . Además, ¿alguien sabe cuántos subgrupos transitivos abelianos de $S_{n}$ y cómo se ven?

Answer 1

Cada grupo abelian $A$ orden $n$ actúa transitivamente sobre sí mismo por la izquierda de la traducción (aka Cayley de acción). Por lo tanto, podemos ver cualquier $A$ como transitivo subgrupo de $S_n$. Además, dado que este tipo de acción tiene necesariamente trivial estabilizadores, este tipo de acción ha de ser isomorfo a la acción de traducción. En otras palabras, un determinado grupo abelian $A$ orden $n$ tiene una esencia única (hasta conjugación por un elemento de $S_n$) transitiva acción de este tipo.

El problema de la inclusión de abelian grupos de un determinado orden de $n$ (hasta el isomorfismo) es relativamente fácil, pero no depende de tener el pleno de la factorización de la $n=\prod_{i=1}^kp_i^{a_i}$ con $p_i$ van más de los factores primos de $n$. Usted necesita a la lista de todas las posibles $p$-partes para $p=p_i,i=1,2,\ldots,k$. Esto equivale a particionar $a_i$ en todas las formas posibles, y el grupo es una suma directa de sus Sylow $p_i$-subgrupos. El número de diferentes (hasta el isomorfismo) abelian grupos de orden $n$ es así $$\prod_{i=1}^kp(a_i),$$ donde $p$ es la función de partición.