Deje $T: H \rightarrow H$ ser un delimitada lineal operador acotado inversa en el separables complejo espacio de Hilbert. No $T$ preservar un cerrado adecuada no trivial subespacio invariante?
Soy consciente de que la pregunta es (famosa) abierto para delimitada lineal de mapas, y de los resultados parciales, pero no de la encuesta (o Tao del blog, etc) parecen dirección de la invertible caso.
Si está abierto, no un resultado positivo o negativo implica que la respuesta no es invertible caso?
El caso es invertible, de hecho, equivalente a la totalidad (posiblemente no invertible) problema.
En primer lugar, si $T$ es invertible y tiene un adecuado no trivial subespacio invariante, entonces esto también responde a la plena conjetura en el negativo. Así, una respuesta negativa en el invertible caso lleva a una respuesta negativa en el caso completo.
Ahora, supongamos $T$ no tiene adecuada no trivial subespacio invariante. Tenga en cuenta que el núcleo y el rango de $T$ son ambos subespacios invariantes, y por lo tanto debe ser $\{0\}$ o $H$. Si el rango es $\{0\}$ o el kernel es $H$, a continuación, $T = 0$, en cuyo caso deja a cada subespacio invariante! Por lo tanto, el rango es de $H$ y el kernel es $\{0\}$, lo que implica que $T$ es invertible (boundedly así, delimitada por el inverso del teorema).
Por lo tanto, una respuesta positiva en el invertible caso lleva a una respuesta positiva en la totalidad del problema. El invertible caso es equivalente a la totalidad del problema.
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