Propiedades de la matriz$A = uv^T$, donde$u, v \in \mathbb R^{m}$

Question

Aclaración: este es un problema de la revisión, no es una tarea problema o cualquier otra cosa-no estoy obteniendo la clasificación en la esta. Dicho esto, me parece no puede entender cómo hacer la última parte.

Considere la matriz $A = u v^T$, donde $u, v \in \mathbb R^{m}$.

(a) ¿Cuál es el rango de $A$? Encontrar una base para el rango de $A$.

Esta parte es fácil: sabemos que el Rango de($uv^T$) es sólo span({$u$}).

(b) una Lista de todos autovalor de $A$. ¿Cuáles son sus geométrica y algebraica de multiplicidades?

Desde las columnas de $A$ son sólo las combinaciones lineales de $u$, debería ser fácil decir que 0 es un valor propio con geométrica y algebraica multiplicidad $m - 1$ desde el subespacio propio asociado con $\lambda = 0$ es simplemente Nulo($A$). El otro autovalor me siento solo puede ser encontrado a través de la observación: $uv^T*u$ = $u<u, v>$ = $<u, v> u$, por lo que el autovalor es $<u,v>$ con motivos geométricos y multiplicidades algebraicas 1. Si hay alguna otra forma de encontrar esto, por favor hágamelo saber.

(c) Encuentre el vector propio para el autovalor cero de $A$.

Desde arriba: $u$

(d) Encontrar un proyector ortogonal en el intervalo de $A$.

Esto es bastante obvio de nuevo con sólo mirar la definición de un proyector y porque el Rango($A$) = span({$u$}): $\frac{1}{\|u\|^2}uu^T$.

(e) Encontrar un proyector ortogonal sobre el nullspace de $A$.

Ni idea. Estoy teniendo una especie de desconexión aquí y realmente no se puede averiguar.

Answer 1

Sugerencia: para $V=U\oplus W$ y los respectivos proyectores $P_{U}$ y $P_{W}$

PS