Límite de una serie de potencias en $\beta$ multiplicado por $(1 - \beta)$

Question

Supongamos que nos dan una secuencia acotada de números reales $|w_k| \le W$ .

Cuál debería ser el límite $\lim_{\beta \rightarrow 1^-}\ (1 - \beta) \sum_{k = 0}^\infty \beta^k w_k$ ?

Para ver que el límite existe, considere que la función $v(\beta) = (1 - \beta) \sum_{k = 0}^\infty \beta^k w_k$ es analítico y que $|v(\beta)| \le (1 - \beta) \sum_{k = 0}^\infty W \beta^k \le W$ por lo que está acotado cerca de $\beta = 1$ y admite un límite.

Supongo que debería ser algo así como $\limsup_n \frac1n \sum_{k = 0}^{n - 1} w_k$ pero no pude probarlo.

Editar: El límite no podía existir, ver la respuesta de metamorfosis. Todavía estoy interesado si la relación $$ \limsup_{\beta \rightarrow 1^-} \ (1 - \beta) \sum_{k = 0}^\infty \beta^k w_k = \limsup_n \frac1n \sum_{k = 0}^{n - 1} w_k$$ se mantiene o no.

Answer 1

En cuanto a tu suposición del límite, si todo converge bien (como lo hacen las series de potencias con coeficientes acotados para $|\beta|< 1$ ) entonces

$$ (1-\beta)\sum_{k=0}^\infty w_k\beta^k = \sum_{k=0}^\infty (w_k-w_{k-1})\beta^k, \quad (|\beta| < 1), $$ tras el leve abuso de la notación $w_{-1}:=0$ . Por lo tanto, si el límite existe, tiene que ser la suma de Abel de las diferencias hacia atrás $\Delta w_k:= w_{k}-w_{k-1}$ . c.f. definición de la suma de Abel en Wikipedia .

En concreto, si lo he entendido bien, el ejemplo de metamorfosis es una variante del ejemplo habitual de cómo algunos métodos de suma generalizada se ven afectados por la dilución de los sumandos (es decir, el relleno de la secuencia $\Delta w_k$ con un montón de ceros para que su suma $w_k$ se mantiene constante durante largos periodos de $k$ ). Véase, por ejemplo este documento lo encontré en una búsqueda en google y por supuesto en el libro de Hardy, "Serie Divergente" (página 59) . Además, el resultado de la divergencia de la metamorfosis se demuestra en página 93 con algo más de generalidad (citaré la prueba al final.)

En cualquier caso, tu suposición es como decir que el límite es igual a la suma de Cesàro de $\Delta w_k$ . Aunque las sumas de Cesàro y Abel coinciden cuando se definen, hay veces que Cesàro no existe pero Abel sí. Pero a partir de Teorema 92 de la serie divergente tu conjetura es verdadera (con lim y no sólo limsup) en el momento en que existe el LHS, ya que $\Delta w_k$ están acotados. Es decir, tenemos

Supongamos que $\Delta w_k $ está acotado. Entonces estos dos límites son iguales mientras exista alguno de ellos: $$ \lim_{\beta \rightarrow 1^{-}}(1-\beta) \sum_{k=0}^{\infty} \beta^{k} w_{k}=\lim _{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} w_{k}$$

(La delimitación es esencial. Por ejemplo, $\Delta w_k = (-1)^k(k+1)$ tiene la suma de Abel $1/4$ pero no es Cesàro sumable, y además el limsup no es igual a la suma de Abel, ya que la media de los sumandos parciales alterna entre $ k/(2k-1) \approx 1/2$ et $0$ . )

Por ejemplo, la versión "sin diluir" del ejemplo de metamorfosis (hasta un cambio en $\Delta w_0$ y un escalado) es el sumatorio de Cesàro $ \Delta w_k $ dado por $$ \Delta w_k = (-1)^{k}, \quad w_k = \frac{(-1)^k+1}2,$$

y el lado derecho de la identidad reclamada es $\lim _{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} w_{k} = 1/2$ . El LHS es $$\lim_{\beta\uparrow 1}(1-\beta)\sum_{k=0}^\infty \beta^{2k} = \lim_{\beta\uparrow 1}\frac{1-\beta}{1-\beta^2}= \lim_{\beta\uparrow 1} \frac{1}{1+\beta} =\frac12,$$ como se predijo.

Por último, quería citar al por mayor la hermosa prueba de Hardy de página 93 Creo que más gente debería leerlo. Demuestra que la sumabilidad de Abel puede ser destruida por la dilución de la serie (que es un resultado más fuerte que el resultado análogo para la sumabilidad de Cesàro).

Por otro lado, si $a>1,$ entonces $$ F(x)=x-x^{a}+x^{a^{2}}-x^{a^{2}}+\dots$$ no tiende a un límite cuando $x \rightarrow 1$ . Para ver esto, observamos que $F(x)$ satisface la ecuación funcional $$F(x)+F\left(x^{a}\right)=x$$ y que $$ \Phi(x)=\sum \frac{(-1)^{n}}{n !\left(1+a^{n}\right)}\left(\log \frac{1}{x}\right)^{n}$$ es otra solución. Por lo tanto, $\Psi(x)=F(x)-\Phi(x)$ satisface $\Psi(x)=-\Psi\left(x^{a}\right),$ y es por tanto una función periódica de $\log \log (1 / x)$ con el período $2 \log a .$ ya que evidentemente no es constante, oscila entre límites finitos de indeterminación cuando $x \rightarrow 1,\log (1 / x) \rightarrow 0, \log \log (1 / x) \rightarrow-\infty .$ Pero $\Phi(x) \rightarrow \frac{1}{2},$ y por lo tanto $F(x)$ oscila.

De ello se desprende que $1-1+1-\ldots$ no es sumable $(A, \lambda)$ cuando $\lambda_{n}=a^{n}(a>1)$ .

Answer 2

Por supuesto que no se puede probar ya por el comportamiento esperado de la respuesta con respecto a la misma. $w_k\mapsto-w_k$ . Además, su "... y admite un límite" queda sin justificar, y de hecho el límite puede no existir .

He aquí un contraejemplo, tal vez no el más sencillo pero creo que interesante: $$w_k=\begin{cases}0,&k=0\\\color{blue}{(-1)^{\lfloor\log_2 k\rfloor}},&k>0\end{cases}$$ con $w(\beta):=(1-\beta)\sum_{k=0}^{\infty}w_k\beta^k=\beta+2\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\beta^{2^n}$ . Para analizar $\beta\to 1^{-}$ Consideremos $W(x)=w(e^{-x})$ para $x>0$ y utilice $$e^{-y}=\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\Gamma(s)y^{-s}\,ds$$ donde $y,c>0$ son arbitrarios. Obtenemos $$W(x)=\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{\Gamma(s)}{x^s}\frac{2^s-1}{2^s+1}\,ds=A(x)+B(x),$$ donde $A(x)$ et $B(x)$ provienen de los residuos en $s=-n$ et $s=\pm(2n+1)\pi i/\ln 2$ : $$A(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{2^n-1}{2^n+1}\frac{x^n}{n!},\\ B(x)=\frac{4}{\ln 2}\sum_{n=0}^{\infty}\Re\left[e^{-(2n+1)\pi i\log_2 x}\Gamma\Big(\frac{2n+1}{\ln 2}\pi i\Big)\right].$$ Mientras que $A(x)\to 0$ con $x\to 0$ , $B(x)$ sigue oscilando, sin converger en nada.

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En cuanto a la "Edición": nope . El mismo contraejemplo funciona. A saber, $$|B(x)|\leqslant\frac{4}{\ln 2}\sum_{n=0}^{\infty}\left|\Gamma\Big(\frac{2n+1}{\ln 2}\pi i\Big)\right|<0.0055$$ mientras que $\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}w_k=\frac{1}{3}$ (considerando la subsecuencia con $n=2^{2k+1}$ ).