Quiero mostrar que por real producto interior espacios de $V$ e $W$si $L:V\to W$ satisface las siguientes propiedades:$$\parallel L(\vec{x})-L(\vec{y})\parallel=\parallel \vec{x} -\vec{y}\parallel\\$$and $$L(\vec{0})=\vec{0},$$ a continuación, este mapa es lineal. Soy consciente de la existencia de la (más general) teorema de Mazur-Ulam, pero me preguntaba si hay más accesible la prueba, lo que es adecuado para los principiantes en álgebra lineal. Gracias de antemano!
Respuesta
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Tenga en cuenta que los supuestos implican que si $L(x)=0$, a continuación, $x=0$. Además, $\|L(x)\|=\|x\|$ para todos los $x$.
Ahora, tenga en cuenta que $\|a+b\|=\sqrt{\|a\|^2+\|b\|^2+2\langle a,\,b\rangle}$.
Como consecuencia, para todos los $x,y$, $\langle L(x),\, L(y) \rangle=\langle x,y \rangle$.
Por lo tanto, para cualquiera escalares $\lambda_i$, para cualquier vectores $x_i$, $$\|\sum_i{\lambda_iL(x_i)}\|=\|\sum_i{\lambda_ix_i}\|.$$
A continuación, tome $x_1=\alpha u+\beta v$, $x_2=u$, $x_3=v$, $\lambda_1=-1$, $\lambda_2=\alpha$, $\lambda_3=\beta$.
