Soy consciente de que $$\sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n}^{-1} = \frac{4}{3} + \frac{2\pi\sqrt{3}}{27}$$ aunque no sé por qué es cierto. En general, me interesa el valor de la serie $$S_k = \sum_{n=k}^\infty \binom{2n}{n-k}^{-1}$$ donde $k$ es un número entero positivo fijo. La serie converge por la prueba de la proporción. ¿Alguien sabe cómo evaluar estas sumas, o tiene una referencia donde se evalúan?
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En general, se pueden evaluar sumas similares utilizando el Función beta : $$ B(x+1,y+1)=\int_0^1 t^{x}(1-t)^{y}dt=\frac{\Gamma(x+1)\Gamma(y+1)}{\Gamma(x+y+2)}= \frac{x!y!}{(x+y+1)!}=\frac{1}{x+y+1}\binom{x+y}x^{-1}. $$
Aplicando esto en su caso ( $x=n-k,y=n+k$ ) uno tiene: $$ \binom{2n}{n-k}^{-1}=(2n+1)\int_0^1 t^{n-k}(1-t)^{n+k}dt $$ o $$\begin{align} \sum_{n=k}^\infty\binom{2n}{n-k}^{-1} &=\sum_{n=k}^\infty(2n+1)\int_0^1 t^{n-k}(1-t)^{n+k}dt\\ &=\int_0^1 dt \sum_{n=k}^\infty(2n+1)t^{n-k}(1-t)^{n+k}\\ &=\int_0^1 \frac{(1-t)^{2k}[2+(2k-1)(1-t+t^2)]}{(1-t+t^2)^2}dt\tag1 \end{align}$$
Se puede demostrar que la integral $(1)$ es la suma de un número racional y un múltiplo de $\dfrac\pi{9\sqrt3}$ .
Sí, es cierto: $$ \frac{(1-t)^{2k}[2+(2k-1)(1-t+t^2)]}{(1-t+t^2)^2}=Q_k(t)+\frac{A_k^0+A_k^1t+A_k^2t^2+A_k^3t^3}{(1-t+t^2)^2},\tag2 $$ donde los dos coeficientes del polinomio $Q(t)$ y $A^0,A^1,A^2,A^3$ son números enteros. La integral de $Q(t)$ es obviamente un número racional y $I_r= \int_0^1\frac{t^r\,dt}{(1-t+t^2)^2}$ se puede evaluar como: $$ I_0=\frac23+\frac49\dfrac\pi{\sqrt3};\quad I_1=\frac13+\frac29\dfrac\pi{\sqrt3};\quad I_2=-\frac13+\frac49\dfrac\pi{\sqrt3};\quad I_3=-\frac23+\frac59\dfrac\pi{\sqrt3}.\quad $$
Así, el término irracional puede escribirse como $$ C_k\frac\pi{9\sqrt3}\quad\text{with}\quad C_k=4A_k^0+2A_k^1+4A_k^2+5A_k^3. $$
Además, el término puede evaluarse explícitamente mediante la siguiente tabla: $$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} k\mod 3& A_k^0&A_k^1&A_k^2&A_k^3&C_k\\ \hline 0&+1-2x&+1+6x&-1-6x&+0+4x&2\\ 1&+2+4x&-5-6x&+3+6x&-1-2x&\hphantom{-1}5+18x\\ 2&-3-2x&2&0&-1-2x&-13-18x\\ \hline \end{array},\tag3 $$ con $x=\left\lfloor\dfrac k3\right\rfloor$ para que $C_k=2,5,-13,2,23,-31,2,41,-49,2,\dots$ para $k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,\dots$ .
La expresión $(3)$ se puede demostrar de la siguiente manera:
Dejemos que $$ P_k(t)=(1-t)^{2k}[2+(2k-1)(1-t+t^2)];\quad R_k(t)=A_k^0+A_k^1t+A_k^2t^2+A_k^3t^3.\\ $$
Entonces tenemos de (2): $$R_k(t_\pm)=P_k(t_\pm);\quad R'_k(t_\pm)=P'_k(t_\pm),\tag4$$ donde $$ t_\pm=e^{\pm\frac{i\pi}3} $$ son las raíces del polinomio $t^2-t+1$ .
Explícitamente (4) equivale al sistema de cuatro ecuaciones lineales: $$\begin{align} A_k^0+A_k^1t_\pm+A_k^2t_\pm^2+A_k^3t_\pm^3&=2t_\pm^{-2k}\\ A_k^1+2A_k^2t_\pm+3A_k^3t_\pm^2&=(1-2k-2t_\pm)t_\pm^{-2k}\\ \end{align}, $$ cuyas soluciones vienen dadas por (3).
Matthew Scouten
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Maple escribe su suma como una función hipergeométrica: $$ S_k = {\mbox{$ _3 $F$ _2 $}(1,1,1+2\,k;\,k+1,1/2+k;\,1/4)}$$
Los valores de $k=0$ a $3$ son $$ \eqalign{k = 0: &{\frac{4}{3} + \frac {2\,\sqrt {3}\pi}{27}} \cr k = 1: &\frac13+{\frac {5\,\sqrt {3}\pi}{27}} \cr k = 2: &{\frac{23}{6}}-{\frac {13\,\sqrt {3}\pi}{27}} \cr k = 3: &\frac34+{\frac {2\,\sqrt {3}\pi}{27}} \cr }$$
Maple no da una forma cerrada para $k=4$ y más. Pero puedo conseguir $k=4$ de esta manera. Con $n = k + m$ escribe el sumando como $$ \frac{(m+2k)!\; m!}{(2m+2k)!} = \frac{m!^2}{(2m)!} \prod_{j=1}^{2k} \frac{m+j}{2m+j} = 2^{-k} \frac{m!^2}{(2m)!} \frac{\prod_{i=k+1}^{2k} (m+i)}{\prod_{i=0}^{k-1} (2m + 2i+1)}$$ Expandir el cociente de productos en fracciones parciales como una constante más una suma de coeficientes sobre $2m+j$ . Luego, suma individualmente.
Eso me da $$ S_4 = -\frac{211}{60} + \frac{23 \sqrt{3}\pi}{27}$$
pero no más allá ya que Maple no dará una forma cerrada para $$ \sum_{m=0}^\infty \frac{m!^2}{(2m)!\; (2m+9)}$$ Sin embargo, creo que debería ser posible conseguir formularios cerrados para estos: stay tuned....
EDIT: OK, parece que
$$ F(z) = \sum_{m=0}^\infty \frac{m!^2}{(2m)!} z^{2m} = \frac{4}{4-z^2} + \frac{4z}{(4-z^2)^{3/2}} \arcsin(z/2) \ \text{for} |z|<2$$ para que $$ \sum_{m=0}^\infty \frac{m!^2}{(2m)!(2m+j)} = \int_0^1 F(z) z^{j-1}\; dz $$
y estos se pueden hacer de forma cerrada. Así que esto me da, por ejemplo,
$$S_5 = \frac{6169}{840} - \frac{31 \sqrt{3} \pi}{27} $$ y $$ S_6 = \frac{1709}{2520} + \frac{2 \sqrt{3} \pi}{27} $$
Claude Leibovici
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Sólo para añadir más términos en la lista. $$\left( \begin{array}{cc} 0 & \frac{4}{3}+\frac{2 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 1 & \frac{1}{3}+\frac{5 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 2 & \frac{23}{6}-\frac{13 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 3 & \frac{3}{4}+\frac{2 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 4 & -\frac{211}{60}+\frac{23 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 5 & \frac{6169}{840}-\frac{31 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 6 & \frac{1709}{2520}+\frac{2 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 7 & -\frac{24923}{3465}+\frac{41 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 8 & \frac{3941153}{360360}-\frac{49 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 9 & \frac{7457}{11440}+\frac{2 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 10 & -\frac{26565167}{2450448}+\frac{59 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 11 & \frac{338662421}{23279256}-\frac{67 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 12 & \frac{29719175}{46558512}+\frac{2 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 13 & -\frac{5168552017}{356948592}+\frac{77 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 14 & \frac{40526745521}{2230928700}-\frac{85 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 15 & \frac{50607208969}{80313433200}+\frac{2 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 16 & -\frac{42190362918239}{2329089562800}+\frac{95 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 17 & \frac{3146154503067509}{144403552893600}-\frac{103 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 18 & \frac{2312776975921}{3702655202400}+\frac{2 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 19 & -\frac{1570173112141273}{72201776446800}+\frac{113 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 20 & \frac{27153272350852367}{1068586291412640}-\frac{121 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 21 & \frac{473757364639811}{763275922437600}+\frac{2 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 22 & -\frac{132365433369215539}{5215718803323600}+\frac{131 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 23 & \frac{1183965646415001041}{40777437916893600}-\frac{139 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 24 & \frac{63942535017037643}{103511957789037600}+\frac{2 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 25 & -\frac{20848468248125325229}{718702343285249700}+\frac{149 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 26 & \frac{101214560276297183097311}{3099044504245996706400}-\frac{157 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 27 & \frac{3717806717925956611}{6041022425430792800}+\frac{2 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 28 & -\frac{1340201691907238426586179}{41062339681259456359800}+\frac{167 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 29 & \frac{26967769215388607878493}{743209767986596495200}-\frac{175 \pi }{9 \sqrt{3}} \\ 30 & \frac{100780402282112197484981}{164249358725037825439200}+\frac{2 \pi }{9 \sqrt{3}} \end{array} \right)$$
