Es la imagen de un mapa liso con rango constante un sub-desplegable

Question

Tengo dos compacto colectores $M$ e $N$ y un suave mapa de $f:M\to N$ , con una constante de rango $k \leq \dim M$.

• Es cierto que $f(M)$ es un submanifold en $N$?
• Si no, ¿qué otras propiedades necesito?
• Sería suficiente que $f$ es continua en lugar de lisa?

He estado tratando de ver cómo esto podría funcionar mediante la constante rango de ajuste de nivel teorema mediante la construcción de una especie de "inversa" $g : N \to M$, pero ese enfoque parece que no, $f$ puede no ser inyectiva.

Answer 1

• Es cierto que $f(M)$ es un submanifold en $N$?

No. Cuando $k=\dim M$ entonces $f$ es también conocido como inmersión. Y la simplicidad contraejemplo es un buen inmersión $S^1\to S^2$ con un solo auto-intersección, es decir, el $\infty$ forma $S^2$ que no es ni siquiera un topológica del colector.

• Si no, ¿qué otras propiedades necesito?

Cuando $f$ es un inyectiva inmersión entonces (desde $M$ es compacto) es una incrustación. Y en esa situación $f(M)$ es un submanifold de $N$ diffeomorphic a $M$.

El caso de al $f$ no es inyectiva (pero todavía inmersión) ya hemos hablado anteriormente y no estoy seguro acerca de $k<\dim M$ caso por desgracia.

Tenga en cuenta que en algunas situaciones $f(M)$ es un submanifold incluso cuando $f$ no es inyectiva. E. g. cuando $N=\{*\}$ es la trivial $0$-colector o el de doble bobinado mapa de $S^1\to S^1$, $z\mapsto z^2$. Por lo que la propiedad que usted está buscando es, probablemente, lejos de ser trivial.

• Sería suficiente que $f$ es continua en lugar de lisa?

Por supuesto que no. Primero de todo liso funciones son continuas por lo anterior contraejemplo se aplica. En segundo lugar si $f$ no es suave (o al menos diferenciable), a continuación, "constante rango de la condición no tiene sentido. Y en esta situación, todo puede suceder. Por ejemplo, cada Peano espacio (es decir, un compacto, conectado, conectado localmente, de segunda contables espacio) es una imagen de $S^1$ a través de un espacio de llenado de la curva por la de Hahn–teorema de Mazurkiewicz.