Nuevo límite para Am-Gm de 2 variables.

Question

Hoy en día estoy interesado por el siguiente problema :

Deje $x,y>0$ entonces tenemos : $$x+y-\sqrt{xy}\leq\exp\Big(\frac{x\ln(x)+y\ln(y)}{x+y}\Big)$$

La igualdad caso viene cuando $x=y$

Mi prueba de los usos derivados porque para $x\geq y$ la función de : $$f(x)=x+y-\sqrt{xy}-\exp\Big(\frac{x\ln(x)+y\ln(y)}{x+y}\Big)$$

es decreciente y para $y\geq x$ la función es creciente y el máximo se produce cuando $x=y$

Mi pregunta es : ¿Tiene usted una alternativa de prueba que no utiliza productos derivados ?

Gracias de antemano.

Answer 1

Respuesta incompleta

Este es un truco que a veces funciona cuando se trata con las desigualdades con dos variables; sin embargo, en este caso, la prohibición de cálculo hace que el problema más difícil.

Deje $\sf{y=ax}$ para algunos $\sf{a,x>0}$. A continuación, $$\begin{align}\sf{x+y-\sqrt{xy}\leq\exp\left(\frac{x\ln x+y\ln y}{x+y}\right)}&\impliedby\sf{x+ax-x\sqrt a\le\exp\left(\frac{x\ln x+ax\ln ax}{x+ax}\right)}\\&\impliedby\sf{x(1-\sqrt a+a)\le\exp\left(\ln x+\frac{a\ln a}{1+a}\right)}\\&\impliedby\sf{1-\sqrt a+a\le a^{\frac a{1+a}}}\end{align}$$ por lo que es suficiente para mostrar que $\sf{(1-\sqrt a+a)^{a+1}\le a^a}.\tag1$

Cabe señalar que la desigualdad es muy estrecho que puede ser visto a través de esta visualización, y la desigualdad de Bernoulli para $\sf{(1-\sqrt a+a)^{a+1}\ge1+(a+1)(a-\sqrt a)}$ es demasiado débil para demostrar $\sf{(1)}$.