Criterio para soluciones fundamentales a la ecuación de Pell de la forma$X^2-DY^2=C$

Question

Estamos tratando de codificar en términos de la moderna algoritmo de las obras de la antigua India matemático Udayadivakara (CE 1073). En su obra Sundari, cita un Acarya Jayadeva que se ha dado a los métodos para resolver las ecuaciones de Pell. En estos métodos, se puede encontrar la cíclica Chakravala método para lidiar con $X^2-DY^2=1$ erróneamente atribuido a Bhaskara. Él también da el método para solucionar $X^2-DY^2=C$ para cualquier entero $C$.

1. Su algoritmo comienza por encontrar la más cercana plaza entero $>D$ nombre $P^2$. A continuación, $a=P^2-D$.
2. Ahora algunos $b$ es elegido de tal manera que $Db^2+Ca$ es algunos cuadrado perfecto, $Q^2$.
3. A continuación, el $X$ e $Y$ soluciones se pueden encontrar mediante el uso de $Y=\frac{Q\pm P b}{a}$ e $X=PY \mp b$.
4. Este procedimiento puede continuar indefinidamente para encontrar todas las soluciones. Pero para simplificar, un par de soluciones puede ser identificado y que producen otras soluciones repetida de Bhavana (que es lo que Brahmagupta y otros autores de la época llamada el ahora bien conocido Brahmagupta-Fibonacci de identidad). Hemos decidido el nombre de "soluciones de la raíz" para que no se choque con la terminología de otros carteles en este sitio web.
5. Las soluciones de la raíz son los que no pueden ser obtenidos de cualquier otra solución por Bhavana.
6. Llegando a la cuestión de la solución fundamental es decir, la solución con la que Bhavana que se ha realizado varias veces para obtener otras soluciones (relacionados con la moderna automorphism grupo de la forma cuadrática), Prof. K. S. Shukla el primero que tradujo la obra del Sánscrito al inglés, en su ejemplo, dice que debe ser elegido "adecuadamente". Se ilustra esto con $X^2-60Y^2=160$. Los dos primeros "raíz" de las soluciones obtenidas utilizando el método anterior es $X=20,Y=2$ e $X=140,Y=18$. Para obtener la solución fundamental de la forma $X^2-60Y^2=1$, se recomienda realizar Bhavana de $X=140,Y=18$ con el mismo rendimiento $X=244,Y=63/2$.
7. Nuestra principal pregunta es entonces, ¿cuál es el criterio para derivar esta solución fundamental? Es allí una manera de obtener un criterio? Pensamos que, dado que el método fue escrito hace mucho tiempo, el los autores no han preferido calcular la integral de soluciones de $X^2-DY^2=1$ porque puede ser molesto a veces, sobre todo para calcular a mano (también el ejemplo de arriba muestra la preferencia del autor original). Cualquier aporte será muy apreciada. Tal vez, el autor original me resuelve $X^2-DY^2=1$ por el cíclico Chakravala método como era bien conocido por él (los versos que describen Chakravala método para $X^2-DY^2=1$ preceden inmediatamente a los versos relativos a esta forma de las ecuaciones de Pell en el magnífico trabajo de Sundari), pero tenemos nuestras dudas, ya que para algunos casos de $D$, incluso el Chakravala método (que tiene más de optimalidad en comparación con la Simple continuación de la fracción método) pueden converger lentamente.
8. Todo el procedimiento se parece a parecerse a los de Conway topograph método que ha sido publicado aquí varias veces Hace la Pell-como la ecuación de $X^2-dY^2=k$ tienen un simple recursividad como $X^2-dY^2=1$? Es muy fascinante pensar que alguna de las maravillas de la mente vino para arriba con este algoritmo de alrededor de 1000 años y la optimalidad de que es igual de impresionante.

Fuente: A. Kolachana. y K, Mahesh y K. Ramasubramanian, `los Estudios en la India las Matemáticas y la Astronomía: Artículos Seleccionados de Kripa Shankar Shukla", Hindustan Libro de la Agencia, Nueva Delhi.

P. S: Si alguien así lo desea, estaremos encantados de proporcionar una versión de la original de papel escrito por el Prof. Shukla en 1950 lidiar con esto!

Answer 1

En el caso de $X^2-DY^2=C$, esto se aplica.

1. $C$ es el producto de corto y especiales de los números primos, y algunos $Z^2$ en relación a la base de $D$.
2. $Z=\gcd(X,Y)$ puede ser cualquier número, sino $Z^2\mid C$.
3. Donde $D = 1 \pmod{4}$, a continuación, $X$ e $Y$ puede ser de tipo entero de partes (es decir, tanto Z+½).

Vamos a ver lo que esto significa.

En base $D$, el período de 1/p dividirá $(p-1)/2$ aún (corto) o impar (largo) número de veces. Por ejemplo, en decimal, corto de los números primos son de la forma $40n\pm 3^x$, 3, 13, 31, 37, 'corto de los números primos'. Esto significa que la ecuación tiene una solución en términos de $C=111$ o $C=1209=3 * 13 * 31 $, por ejemplo, ya que estos son el producto de la corta de los números primos en relación a 10.

El largo de los números primos nunca ocurren como soluciones a menos que divide ambos $X$ e $Y$, en cuyo caso $p^2 \mid C$.

El especial de los números primos, generalmente se toma como el conjunto de 2 y los divisores de $D$. Estos serán necesariamente acompañan a ciertos números primos. De esta forma, por ejemplo, que $3$ no se encuentran solos, sino que requiere una $2$ o $5$ a estar con él. Así que no hay solución a $X^2-10Y^2=3$, pero no es para $X^2-10Y^2=6$.

Teoría General

Algebraicamente, estos equivalen a los valores de la forma $a \pm b\sqrt{D}$. Este es un entero sistema, en el que cada número de este formulario se divide un número entero $C=a^2-D.b^2$. Muchos de estos entero sistemas no son completamente factorable en sí mismos, sino que dependen fuertemente de la 'multiplicación de la mitad de los sistemas.

Por ejemplo, el número decimal caso de $a\pm b\sqrt{10}$ tiene una media múltiplos de la forma $a\sqrt 2 \pm b \sqrt 5$. $a$ e $b$ puede ser entero, en mitades, cuando la diferencia de los números por debajo de la plaza de las raíces es divisible por cuatro, es decir, $4\mid (5-2)$ aquí.

Tenga en cuenta también que puede haber una unidad en el entero de la mitad del sistema. $D=10$ no tiene uno, pero sin duda hay uno en $D=42$ como $\sqrt 7 + \sqrt 6$. Este sistema también ha multiplicación-mitades, en $a\sqrt 2 + b\sqrt{21}$, e $a\sqrt 3+b \sqrt{14}$.

Tenga en cuenta que cualquier prime se produce en un determinado multiplicación de la mitad, por lo que requiere especial prime(s) para encontrar un valor de $C$. Así, en decimal, el primer $41$ puede ocurrir como una solución directa, mientras que $37$ requiere una especial adicional de la mitad-factor (2 o 5) para ser una solución. Un adicional de multiplicación de la mitad va a hacer, así $13*37=481=10.7^2-3^2$ obras.

El caso de $D=130$ es interesante. Tiene cuatro medio-sistemas de (1,130), (2,65), (5,26) y (10,13), que funcionan en la operación XOR principio (es decir, un primer en (2,65) veces uno en (10,13), requiere de un primer de (5,12) para hacer el cuadrado (2×10×5 es cuadrada). Pero la unidad de este sistema no tiene la mitad de forma.

Yo creo que si se toman las raíces primitivas de los números primos, y hacer una tabla de pares e impares índices (ie $g^i = n\pmod p$), a continuación, estas reglas se aplican.

1. Si la suma de los índices de $D \pmod p$ es incluso, a continuación, $p$ puede ocurrir como una sola potencia divisor de $C$.

2. La paridad real de la persona divisores de $D$ determinar que 'la mitad' cae en. Por ejemplo, en relación a $D=30$, tenemos el primer 13, siempre en binario, corto en -3, y largo en 5. Esto le da a 101, por lo que el período de 13 años, en base a 30 tiene una longitud de dividir 6. Pero la unidad de $x+y \sqrt{30}$ tiene una media de caer en $\sqrt 6 + \sqrt 5$. Así que, para todos ellos, incluso, no está en el conjunto 000,110,001,111, (que no requieren auxiliares prime), pero en el 010, 100, 011, 101, el cual necesita de una $2$ o $3$. Así nos encontramos por ejemplo, que el 26 y 39 son posibles candidatos para $C$, pero no el 13 de sí mismo.

Answer 2

Esto realmente es una respuesta. Todas las soluciones ( $w,v > 0$ ) a $w^2 - 97 v^2 = 96$ provienen de ocho soluciones semilla y luego se aplican

$$ \small (w,v) \mapsto ( 62809633 w + 618603144 v \; , \; \; 6377352 w + 62809633 v \; \; ) \; $ $ arbitrariamente muchas veces. Mientras tanto, una solución "semilla" es una para la cual, ya sea $$ \small 62809633 w - 618603144 v \leq 0 \; \; \mbox{OR} \; \; \; -6377352 w + 62809633 v \leq 0 $ $

 jagy@phobeusjunior:~$  ./Pell_Target_Fundamental 

  Automorphism matrix:  
    62809633   618603144
    6377352   62809633
  Automorphism backwards:  
    62809633   -618603144
    -6377352   62809633

  62809633^2 - 97 6377352^2 = 1

 w^2 - 97 v^2 = 96 =  2^5 3

Thu Jun  6 08:41:39 PDT 2019

 progress   0
Thu Jun  6 08:41:39 PDT 2019
w:  22  v:  2  SEED   KEEP +- 
w:  463  v:  47  SEED   KEEP +- 
w:  2738  v:  278  SEED   KEEP +- 
w:  49589  v:  5035  SEED   KEEP +- 
w:  60797  v:  6173  SEED   BACK ONE STEP  49589 ,  -5035
w:  1101122  v:  111802  SEED   BACK ONE STEP  2738 ,  -278
w:  6512311  v:  661225  SEED   BACK ONE STEP  463 ,  -47
w:  144605638  v:  14682478  SEED   BACK ONE STEP  22 ,  -2
w:  2619018214  v:  265921010


Thu Jun  6 09:00:36 PDT 2019

 w^2 - 97 v^2 = 96 =  2^5 3

jagy@phobeusjunior:~$
 

Answer 3

Esto no responde, solo ilustración como funcionan pari / gp .

código gp:

 gpell(D,C)=
{
print("\nRoot solutions of Pell equation x^2-",D,"*y^2=",C,"\n");

 Q= iferr(bnfinit('X^2-D), E, 0);

 if(Q,

  U= iferr(Q.fu, E, 0);

  if(U, for(j=1, #U, u= U[j]; print("Q.fu: ",u,"\n");

   N= iferr(bnfisintnorm(Q, C), E, 0); print("bnfisnorm: ",N,"\n");

   if(N, for(k=1, #N, n= N[k];

    for(l=0, 48, \\print("\n",l);

     nu= lift(n*u^l); \\print(nu);

     X= abs(polcoeff(nu, 0)); Y2= (X^2-C)/D;  

     if(X==floor(X)&&Y2==floor(Y2),

      Y= sqrtint(Y2);

      print("X= ",X,"    Y= ",Y,"    l= ",l); break()

     )
    )
   ))
  ))
 )
};
 

Ejecutar código:

 ? \r gpell.gp
? gpell(97,96)

Root solutions of Pell equation x^2-97*y^2=96

Q.fu: Mod(569*X - 5604, X^2 - 97)

bnfisnorm: [25/2*X + 247/2, -5/2*X + 53/2, 47*X - 463, 6173*X - 60797, 111802*X - 110112
2, 2*X + 22, -2*X + 22, 278*X - 2738, -5035*X + 49589, -661225*X + 6512311, -5/2*X - 53/
2, 25/2*X - 247/2]

X= 463    Y= 47    l= 0
X= 60797    Y= 6173    l= 0
X= 1101122    Y= 111802    l= 0
X= 22    Y= 2    l= 0
X= 22    Y= 2    l= 0
X= 2738    Y= 278    l= 0
X= 49589    Y= 5035    l= 0
X= 6512311    Y= 661225    l= 0
?
?
?
?
? d=1377;gpell(d*(d-8),d*8)

Root solutions of Pell equation x^2-1885113*y^2=11016

Q.fu: Mod(1/333*X - 4, X^2 - 1885113)

bnfisnorm: [-11/74*X + 459/2, -X + 1377, -3/37*X + 153, -45/74*X + 1683/2]

X= 1377    Y= 1    l= 0
X= 74319362381115913874527035825931593    Y= 54129408430647687070089140606679    l= 36
?
 

Muy atenta al parámetro "l" en el código.

Y para contrastar el trabajo de Wolfram .