Polinomios con$f(\sin x) = f(\cos x)$

Question

Encontrar todos los polinomios en la $f \in \mathbb{R}[x]$ tal que $f(\sin x) = f(\cos x)$ para todos los $x\in \mathbb{R}$.

La mejor idea que probé fue la comparación de los coeficientes de $f(t)$ e $f(\sqrt{1-t^2})$ pero aún así es bastante complicado.

Actualización: Encontrar todos los $f$ con $f(t^2) = f(1-t^2)$ sería suficiente, por la Suficiente y condición esencial para polinomios $P$ e $Q$ a satisfacer $P(\sin x)= Q(\cos x)$

Answer 1

Sí, acabo de llegar a eso.

Hacer una sustitución de $t^2=u$, luego tenemos a $f(u)$ puede ser cualquier polinomio que es simétrica alrededor de $u=\frac{1}{2}$.

Un ejemplo podría ser $a(u)=(u-\frac{1}{2})^2$ que corresponde a $f(t)=(t^2-\frac{1}{2})^2$.

Otro ejemplo de no-función polinómica sería $f(t)=|t^2-\frac{1}{2}|$.

Cualquier polinomio que es una combinación lineal de incluso los poderes de $(t^2-\frac{1}{2})$ va a trabajar.