Cómo escribir $\pi$ como un conjunto en ZF?

Question

Sé que a partir de ZF podemos construir algunos conjuntos de forma bonita obteniendo las propiedades deseadas que esperamos que tengan estos conjuntos. En ZF todo es un conjunto (incluyendo números, elementos, funciones, relaciones, etc...).

Por ejemplo, podemos definir una copia de $\mathbb{N}$ utilizando el axioma del conjunto vacío y otros, llamados a veces $\omega$ y definiendo,

\begin{align} 0_\mathbb{N}&=\{\}\\ 1_\mathbb{N}&=\{\{\}\}\\ 2_\mathbb{N}&=\{\{\},\{\{\}\}\}\\ 3_\mathbb{N}&=\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\\ 4_\mathbb{N}&=\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}, \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\}\\ &\ \vdots \end{align}

Pues bien, ZF nos permite construir este tipo de conjuntos que son una especie de arreglos de paréntesis y comas. Podemos seguir con $\mathbb{Z}$ ya que podemos definir $(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$ :

$\mathbb{Z}$ se define como el conjunto de clases de equivalencia $\mathbb{Z}=(\mathbb{N}\times\mathbb{N})\big/\sim$ donde

$$\sim\, =\{\big((m,n),(h,k)\big)\in(\mathbb{N}\times\mathbb{N})\times (\mathbb{N}\times\mathbb{N}):(m+_\mathbb{N} k)= (h+_\mathbb{N} n)\}$$

aquí, los enteros son conjuntos más complicados que los números naturales. Por ejemplo,

\begin{align} -2_\mathbb{Z}&=\{(1_\mathbb{N},3_\mathbb{N}),(2_\mathbb{N},4_\mathbb{N}),(3_\mathbb{N},5_\mathbb{N}),\ldots,(n_\mathbb{N},(n+2)_\mathbb{N}),\ldots\}\\ &=\{\{\{1_\mathbb{N}\},\{1_\mathbb{N},3_\mathbb{N}\}\},\{\{2_\mathbb{N}\},\{2_\mathbb{N},4_\mathbb{N}\}\},\ldots\}\\ -2_\mathbb{Z}&=\{\{\{\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\}\},\\ &\quad\{\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}, \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\}\}\},\ldots\}\\ \end{align}

En este sentido, cabe destacar la importancia de las anotaciones. Continuamos con $\mathbb{Q}=(\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z\setminus\{0_\mathbb{Z}\})}\})\big/\sim$ donde

$$\sim\, =\{\big((m,n),(h,k)\big)\in(\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z\setminus\{0_\mathbb{Z}\})}\})\times (\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z\setminus\{0_\mathbb{Z}\})}\}):m\odot_\mathbb{Z}k=h\odot_\mathbb{Z}n\}$$

Y por ejemplo:

$$(0.2)_\mathbb{Q}=\{(1_\mathbb{Z},5_\mathbb{Z}),(2_\mathbb{Z},10_\mathbb{Z}),(3_\mathbb{Z},15_\mathbb{Z}),\ldots,(n_\mathbb{Z},(5n)_\mathbb{Z}),\ldots\}$$

Imagina que escribimos los números enteros como antes y escribimos los pares ordenados en forma no abreviada ( $(0.2)_\mathbb{Q}$ es una bonita abreviatura de este monstruo). Sin embargo, podemos .

Por último, definimos $\mathbb{R}$ como el conjunto de todos los cortes Dedekind, por ejemplo:

$$(0.2)_\mathbb{R}=\{x\in\mathbb{Q}:x<_\mathbb{Q} (0.2)_\mathbb{Q}\}$$

Tenga en cuenta que $(0.2)_\mathbb{R}$ es aún más monstruoso que $(0.2)_\mathbb{Q}$ . También puedo escribir $(\sqrt{2})_\mathbb{R}$ mostrando sus elementos de forma sencilla,

$$(\sqrt{2})_\mathbb{R}=\{x\in\mathbb{Q}:(x^2<_\mathbb{Q} 2_\mathbb{Q}) \lor (x<_\mathbb{Q} 0_\mathbb{Q})\}$$

Pero no sé cómo hacerlo con $\pi_\mathbb{R}$ ya que

$$\pi=\lim_{k\to\infty}\sum_{n=0}^{k}\cfrac{2^{n+1} n!^2}{(2n + 1)!}$$

Sólo sé que

$$(\pi)_\mathbb{R}=\bigcup_{k=1}^{\infty} \left(\sum_{n=0}^{k}\cfrac{2^{n+1} n!^2}{(2n + 1)!}\right)_\mathbb{R}$$

Ya que convergen monotónicamente a $\pi$ tenemos

$$(\pi)_\mathbb{R}=\bigcup_{k=1}^{\infty} \left\{x\in\mathbb{Q}:x<_\mathbb{Q} \left(\sum_{n=0}^{k}\cfrac{2^{n+1} n!^2}{(2n + 1)!}\right)_\mathbb{Q}\right\}$$

¿Hay alguna forma de evitar la unión infinita (y la elección de una determinada secuencia convergente ) como en el caso de $(\sqrt{2})_\mathbb{R}$ ? Si no, ¿por qué?

¿Podemos escribir el conjunto que representa $\pi$ enumerar sus elementos como hacemos con los enteros o los racionales (como $\mathbb{Q}$ es contable supongo que debería ser capaz de hacer, pero no sé cómo hacer)?

Si en ZF todo es un conjunto, es tan sorprendente el hecho de que se puedan definir tantas cosas, entonces mi última pregunta es

¿Cuántas cosas más se pueden construir utilizando ZF?, ZF podría definirnos qué es una derivada, una integral, un límite o una medida?

Gracias de antemano.

Answer 1

Obsérvese que al definir los números naturales tenemos un buen sentido de la suma y la multiplicación (aritmética ordinal), y a partir de ellas podemos definir las operaciones sobre $\Bbb Z$ y $\Bbb Q$ y luego utilizando la construcción de cortes Dedekind podemos extenderlos a $\Bbb R$ también.

Así que tenemos que $\Bbb R$ tiene las operaciones $+,\cdot$ y todos ellos satisfacen todas las cosas que sabemos que hacen desde los tiempos en que hacíamos matemáticas sin escribir todos los conjuntos explícitamente.

Ahora podemos usar estas cosas para empezar y definir cualquier otra cosa que deseemos usando el $+$ y $\cdot$ y otras cosas como nuestras piedras. Por ejemplo, se puede definir $\pi$ sea la longitud del semicírculo de radio $1$ .

¿Cómo lo hacemos? Definimos lo que es una integral, y una integral de camino, y así sucesivamente. Todo a partir de los conjuntos que son la suma y la multiplicación, etc., y entonces podemos definir $\pi$ de una manera dolorosamente tediosa.

El objetivo de utilizar la teoría de conjuntos, y en este caso $\sf ZF$ como nuestro fundamento es que puede hacer cosas, una vez que podemos definir los números reales con sus propiedades básicas tenemos fórmulas que definen cosas de esa estructura, y no tenemos que escribir todo en forma de conjunto explícitamente.

Una vez que tenemos los números reales (con el orden) es fácil definir la colección de intervalos abiertos, y entonces es fácil definir la topología estándar (la colección más pequeña que contiene los intervalos y que tiene ciertas propiedades), a partir de ahí podemos definir los conjuntos de Borel, los conjuntos de Lebesgue, y la medida de Lebesgue (siendo la única función de los conjuntos de Lebesgue en los números reales que satisface ciertas propiedades), entonces podemos definir la integración y con respecto a la medida, y podemos definir la derivación.

Todas estas cosas acaban siendo fórmulas inmensamente largas y complicadas, pero la cuestión es que podemos escribirlas. Y todo esto con sólo $\in$ y los axiomas de $\sf ZF$ . (Aunque tal vez queramos añadir $\sf DC$ o incluso $\sf AC$ si hablamos de la teoría de la medida).

Pero si quieres insistir en $\pi$ que se escribe en forma de conjunto:

$$\pi = \left\{x\in\Bbb Q\mathrel{}\middle|\mathrel{} x<_\Bbb Q0\lor \left(x\geq_\Bbb Q0\land\exists k\in\Bbb N:\frac{x^2}6<_\Bbb Q\sum_{n=1}^k\frac1{n^2}\right)\right\}$$

Answer 2

Déjame probar esto $$(\pi)_{\mathbb{R}}=\left\{x\in \mathbb{Q}:\;\exists k\in\mathbb{N}.\;x< \sum\limits_{n=0}^{k}\cfrac{2^{n+1} n!^2}{(2n + 1)!}\right\}$$ Esta sería la construcción Dedekind de los reales, y nótese que aquí no hay unión.

O bien, completaría los racionales primero tomando el cociente del anillo de secuencias fundamentales con el ideal máximo de secuencias nulas $\mathcal{F}_Q/\mathcal{N}_Q$ para obtener un campo completo $\mathbb{R}$ entonces puedo decir con seguridad que $$\pi=\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=0}^{k}\cfrac{2^{n+1} n!^2}{(2n + 1)!}$$ (o definir primero exp, luego definir sin, luego definir $\pi$ )

Answer 3

Es difícil saber qué significa "evitar la unión infinita". Por supuesto, todos los cortes dedekind son conjuntos infinitos de elementos de $\mathbb Q$ que a su vez son conjuntos infinitos y así sucesivamente. Si se quiere escribir una expresión para $\pi_{\mathbb R}$ que evita que las manchas de tinta parezcan $\bigcup_{k=1}^\infty$ se puede tratar de definir $\pi$ como raíz positiva más pequeña de cualquier función no nula que tenga una raíz en cero y sea el negativo de su segunda derivada. Puede resultar igual de divertido formular todo esto usando sólo racionales.

Answer 4

Escribí la ecuación original en Word y la añadí aquí