Sé que los polinomios se pueden refactorizar en términos de sus raíces. Sin embargo, esto debe implicar que dos polinomios distintos tienen raíces diferentes (esto es lo que pienso). Entonces mi pregunta es: ¿Son idénticos los polinomios con las mismas raíces? - si es así, ¿por qué?
Una pregunta de seguimiento que también trata sobre la unicidad de raíces y polinomios se puede encontrar aquí: ¿Es único el conjunto de raíces para cada $g(x)$ en $a_n x^n + g(x)$?
No, no lo son.
Por ejemplo, $2x^2-2$ y $x^2-1$ tienen las mismas raíces, sin embargo no son idénticos.
Y, dependiendo de lo que quieras decir con "las mismas raíces", tenemos que $x^2-2x+1$ y $x-1$ tienen las mismas raíces, sin embargo no son idénticos.
Nuevamente, dependiendo de lo que quieras decir con "las mismas raíces", $x^3+x$ y $x^3+2x$ ambos tienen solo una raíz real, sin embargo no son iguales.
Sin embargo, si dos polinomios mónicos tienen las mismas raíces, con las mismas multiplicidades, sobre algún campo algebraicamente cerrado (como los números complejos $\Bbb C$) entonces sí, son idénticos.
Aha, ¿de acuerdo, gracias. Pero entonces, ¿cómo puedes escribir un polinomio en términos de sus raíces? ¿Como $(\lambda - a)(\lambda - d)-bc = 0$ puede ser escrito en términos de sus raíces $(\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2) = 0? Ya que aparentemente tener las mismas raíces no implica que dos polinomios sean idénticos, usar las raíces como una forma de escribir un polinomio único me parece confuso.
@FacPam Esos polinomios son mónicos, y dado que son cuadráticos, siempre hay exactamente dos raíces (posiblemente complejas) cuando se cuentan con multiplicidad. Y dado que ambos tienen las dos raíces $\lambda_1$ y $\lambda_2$, resultan ser el mismo polinomio. ¿No se abordó esto en tu pregunta anterior?
Ahh, no, no fue abordado, al menos eso creo. Posiblemente porque no conozco la definición de "monic". Lo buscaré ahora. Gracias de nuevo.
La respuesta aceptada merecidamente es una gran explicación. Mientras leía esto, pensaba en mis estudiantes que son aprendices visuales, para quienes una imagen vale más que mil palabras, y esto respondería su pregunta con casi ningún comentario adicional.
La imagen de arriba muestra una simple $Y=(X-1)(X-2)(X-3)$ y una superpuesta $Y=-3(X-1)(X-2)(X-3)$.
Esto ayuda a mostrar que la manipulación realizada en una ecuación como el factorado puede preservar las raíces, pero no deja una ecuación con la misma naturaleza, por ejemplo, se puede perder fácilmente el comportamiento final que podría ser importante.
Edición - a petición popular, estoy agregando el gráfico original, y uno superpuesto con 2 como raíz doble.
¿Qué tal si le damos un toque especial con un polinomio en el que (X-2) aparezca dos veces? Todavía con las mismas raíces, y mostraría que estamos hablando de algo más que simples factores constantes triviales.
Para polinomios sobre $\mathbb{R}$, la respuesta es no; por ejemplo, $f(x)=x$ y $g(x) = x(x^2+1)$ tienen las mismas raíces sobre $\mathbb{R}$—con las mismas multiplicidades—pero no son iguales.
Para polinomios sobre $\mathbb{C}$, la respuesta es casi. El teorema fundamental del álgebra establece que cada polinomio sobre $\mathbb{C}$ de grado $n \ge 1$ se factoriza de forma única en $n$ factores lineales. Por lo tanto, si $f$ y $g$ tienen las mismas raíces $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$, enumeradas con multiplicidad, entonces $$ f(x) = \lambda (x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n) \text{ y } g(x) = \mu(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n) $$ para algunos $0 \ne \lambda,\mu \in \mathbb{C}$. Por lo tanto, las raíces (con multiplicidad) determinan polinomios sobre $\mathbb{C}$ hasta una constante multiplicativa y, en particular, los polinomios mónicos sobre $\mathbb{C}$ están únicamente determinados por sus raíces.
Para polinomios sobre campos finitos, la respuesta es definitivamente no. Hay polinomios que no solo tienen las mismas raíces, sino que también tienen los mismos valores para cada entrada. Por ejemplo, los polinomios $f(x) = x$ y $g(x)=x^3$ sobre $\mathbb{F}_2$ cumplen $f(x)=g(x)$ para todos los $x \in \mathbb{F}_2$, y sin embargo $f \ne g$.
¿Qué quieres decir con "hasta una constante" - $f_1(x)=(x+1)(x-2)$ y $f_2(x)=5(x+1)(x-2)$ no son idénticos?
@FacPam Bueno, $f_2(x) = 5 f_1(x)$, por lo que apenas podemos decir que son idénticos excepto en sus raíces.
@FacPam Significa que si $f(x_o)=0$ para algún $x_0$, entonces también $\lambda f(x_0)=0$ para cualquier escalar $\lambda$
La multiplicidad también cuenta: por ejemplo $x$ y $x^2$ tienen las mismas raíces, pero son polinomios diferentes. Si dos polinomios tienen todas las mismas raíces y todas las mismas multiplicidades, entonces aún así no son iguales: $2x$ y $x$ por ejemplo. Así que todo lo que puedes concluir es que uno es un múltiplo escalar de otro.
Sin embargo, esta afirmación necesita ser interpretada correctamente: necesitas trabajar sobre $\mathbb{C}$ (o algún otro campo algebraicamente cerrado). Por ejemplo, sobre $\mathbb{R}$, los polinomios $x^2+1$ y $(x^2+1)^2$ tienen las mismas raíces reales (¡es decir, no tienen raíces!) pero claramente no son iguales.
Entonces: tienes que contar las raíces con multiplicidad en el cierre algebraico.
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Los polinomios $f(x)=1$, $g(x)=2$ y $h(x)=x^2+1$, $k(x)=x^2+x+1$ tienen las mismas raíces en $\Bbb R$.