Encuentra la integral:$ \int{\frac{\sin x+2\cos x}{\sin^2x+3\sin x+2}\,dx}$

Question

Me gustaría un poco de ayuda con la siguiente integral

PS

Intenté dividir la fracción a$$ \int{\frac{\sin x+2\cos x}{\sin^2x+3\sin x+2}\,dx}$

y para$\displaystyle\int\frac{\sin x}{\sin^2x+3\sin x+2}\,dx + \displaystyle\int\frac{2\cos x}{\sin^2x+3\sin x+2}\,dx$, dejando a$\displaystyle\int\frac{2\cos x}{\sin^2x+3\sin x+2}\,dx$ y obtenemos$[ \sin x=t,\frac{dt}{dx}=\cos x ]$

pero ¿qué puedo hacer con$\displaystyle \int\frac{2dt}{t^2+3t+2}$?

Gracias

Answer 1

Sugerencia :$\dfrac{\sin x}{\sin^2x+3\sin x + 2} =\dfrac{2}{\sin x+2}-\dfrac{1}{\sin x+1}$, y para cada uno de ellos use$t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$