Si {$v_1,v_2,v_3$} son lineales independientes, {$v_1+3v_3,v_2+v_1,v_1+v_3$} también es lineal independiente?
Lo intenté $ a(v_1+3v_3)+b(v_2+v_1) +c(v_1+v_3)=0$
por lo tanto, al agrupar obtuve$(a+b+c)v_1+(3a+c)v_3+bv_2=0$
por lo tanto, porque$v_1,v_3,v_2$ son lineales independientes, esto solo tiene una solución si$a,b, c $ es 0
Tu solución es correcta; Sin embargo, sugeriría insertar un detalle que omitiste.
El hecho de que $$ (a + b + c) v_1 + bv_2 + (3a + c) v_3 = 0 $$ no implica, de inmediato, que solo tenga una solución para$a=b=c=0$; tiene una solución solo para$a+b+c=0$,$b=0$ y$3a+c=0$.
Ahora, claramente,$b=0$; luego el sistema se reduce a$a+c=0$ y$3a+c=0$, y puedes terminar el álgebra desde aquí para mostrar que$a=b=c=0$.
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