En la teoría de las categorías, ¿ $X \leq Y$ tienen una buena caracterización en términos de la existencia de un morfismo $X \rightarrow Y$ ?

Question

Objetos dados $X$ et $Y$ de una categoría, escriba $X \leq Y$ si para todos los objetos $A$ et $B$ y todas las flechas $f : A \rightarrow B$ tenemos que si $f$ factores a través de $X$ entonces $f$ factores a través de $Y$ . Por lo tanto, la declaración $X \leq Y$ está expresando de alguna manera la idea de que $X$ es "más pequeño" o "más estrecho" que $Y$ .

Pregunta. ¿La declaración $X \leq Y$ tienen una buena caracterización en términos de la existencia de una flecha $X \rightarrow Y$ ¿tener una determinada propiedad?

(Probablemente hay una respuesta obvia, pero no soy muy bueno en la teoría de las categorías, así que la ayuda de todos es muy apreciada).

Answer 1

La situación en $\mathbf{Set}$ resulta ser genérico: en cualquier categoría, $X \le Y$ si y sólo si existe un dividir monomorfismo $X \to Y$ o, de forma equivalente, si y sólo si existe un dividir epimorfismo $Y \to X$ .

En efecto, el morfismo $\mathrm{id} : X \to X$ factores a través de $X$ Así que si $X \le Y$ entonces debe existir $s : X \to Y$ et $r : Y \to X$ tal que $r \circ s = \mathrm{id}_X$ y, a la inversa, dada dicha $s : X \to Y$ et $r : Y \to X$ para cualquier $f : A \to X$ et $g : X \to B$ tenemos $g \circ f = (g \circ r) \circ (s \circ f)$ Así que, efectivamente $X \le Y$ .