Invarianza de un tensor bajo transformación de coordenadas

Question

Ya sé que un tensor es una entidad matemática que se representa utilizando una base y productos tensoriales, en forma de matriz, y que cambiar una representación no cambia un tensor, es algo obvio.

Entonces, ¿la invariancia de un tensor bajo una transformación de coordenadas significa lo que he dicho arriba o significa que bajo un conjunto de transformaciones particulares la representación de un tensor particular tampoco cambia.

Citado en Wikipedia :

Un vector es invariante bajo cualquier cambio de base, por lo que si las coordenadas se transforman según una matriz de transformación $L$ las bases se transforman según la matriz inversa $L^{1}$ y a la inversa, si las coordenadas se transforman según la inversa $L^{1}$ las bases se transforman según la matriz $ L$ .

¿Puede alguien arrojar algo de luz sobre esto?

Answer 1

En cuanto a lo que has citado: un vector se representa por la suma de un conjunto de vectores base por los componentes del vector. Si las componentes se transforman según $L$ entonces las bases se transformarán según $L^{-1}$ lo que significa que cuando se multiplican las bases con los componentes (para hacer el vector), se obtiene siempre el mismo resultado (ya que $L\cdot L^{-1}=I$ ). Esto es lo que se entiende por invariancia.

La invariancia de un tensor significa básicamente lo que has dicho arriba: el tensor en sí no cambia bajo un cambio de coordenadas (como he explicado). Sin embargo, los componentes del tensor sí pueden cambiar.

Answer 2

Supongo que hay dos nociones diferentes de invariancia de los tensores. La primera noción es que si consideras un tensor como un mapeo, entonces la primera noción de invariancia es la que has mencionado anteriormente. La otra noción de invariancia es que haces una transformación pero la "componente" de la métrica no cambia. Por ejemplo, si hacemos una transformación de Lorentz, la métrica de Minkowski es invariante, lo que significa que la componente será +1 , -1 , -1 ,-1 .

¡¡Puede que me equivoque!!