Cambio de límites al cambiar el orden de integración.

Question

Considere el siguiente Lebesgue la integral: $$ \int_{0}^{\infty} \int_{|f|>y} g(y) \: |f(x)| \: \mathrm{d}x \: \mathrm{d}y , $$ donde g es un valor no negativo medibles función definida en $ (0,\infty) $ e $ f $ es un medibles función definida en $ \mathbb{R}^n $. Si estoy en lo correcto, la Tonelli la versión del teorema de Fubini nos permite cambiar el orden de integración. Pregunta: ¿cuáles serán los nuevos límites de integración?

Mi intento: \begin{align} \{(x,y) : |f(x)|>y, \: y \in (0,\infty)\} &= \{(x,y) : x \in \mathbb{R}^n, \: |f(x)|>y, \: y \in (0,\infty)\} \\ &= \{(x,y) : x \in \mathbb{R}^n, \: |f(x)|>y>0\} . \end{align} Por lo tanto, por encima de la integral doble es igual a $$ \int_{\mathbb{R}^n} \int_{0}^{|f|} g(y) \: |f(x)| \: \mathrm{d}y \: \mathrm{d}x . $$ Aunque no tengo dudas de que las dos integrales son de hecho iguales, me pregunto si el conjunto de la teoría de la justificación que me dieron es suficiente, o si me he perdido algo de sutileza?

Muchas gracias de antemano! :)

Answer 1

Si el conjunto$E$ se define como

PS

entonces la función$$ E = \{ (x, y) : |f(x)| > y \} $ no es negativa y se puede medir en$(x, y) \mapsto g(y)|f(x)| \mathbf{1}_E(x, y)$, y por lo tanto, por el teorema de Tonelli

\begin{align*} \int_{0}^{\infty} \int_{|f(x)|>y} g(y)|f(x)| \, dxdy &= \int_{0}^{\infty} \int_{\mathbb{R}^n} g(y)|f(x)|\mathbf{1}_E(x, y) \, dxdy \\ &= \int_{\mathbb{R}^n} \int_{0}^{\infty} g(y)|f(x)|\mathbf{1}_E(x, y) \, dydx \\ &= \int_{\mathbb{R}^n} \int_{0}^{|f(x)|} g(y)|f(x)| \, dydx \end{align*}

Dicho esto, la única sutileza con la que debe lidiar es la capacidad de medición del conjunto$\mathbb{R}^n \times (0,\infty)$, pero esto es bastante obvio a partir de la capacidad de medición de la función$E$.

Answer 2

Sus pensamientos generales la razón, pero usted ha hecho algunos (menor de edad) errores o debe considerar los puntos que quizás no se dio cuenta antes:

1.) te perdiste a cambiar "dx" y "dy" al final, por lo que el término correcto es $$\int_{\mathbb{R}^n} \int_{0}^{|f|} g(y) \: |f(x)| \: \mathrm{d}y \: \mathrm{d}x$$

2.) Usted debe reconocer que en realidad su dominio del exterior integral debería ser $$\Bbb R^n\setminus\{|f| \not=0 \}$$.

Porque el integrando contiene $|f|$ como un factor y así es igual a $0$ si $|f|=0$ esto no importa, en tu caso, pero si el integrando sería por ejemplo, $$g(x)\left(|f(x)| + 1\right)$ $ se puede!

Acaba de ser conscientes de que....