Comprensión de conjuntos agregados por una noción de forzamiento.

Question

Considerar para colorear $c:[\kappa]^2 \to 2$ ($\kappa$ regular innumerables cardenal, se puede suponer que la $\omega_1$ por simplicidad) s.t. el siguiente se tiene:

Para cada $A \subset [\kappa]^{<\omega} $ del tamaño de la $\kappa$, que consta de pares de conjuntos disjuntos, y cada una de las $i\in\{0,1\}$ hay $a,b\in A$ con $\sup a<\min b$ s.t. $c``[a\times b]=\{i\}$

[Si no me equivoco, estos colorantes existen por ejemplo, cuando se $V=L$ e $\kappa$ no es débilmente compacto]

Ahora vamos a definir una obligando noción $P$ consinting de todos finito de funciones $f:\kappa\to\omega$ satisfactorio $f(\alpha)=f(\beta) \Rightarrow c(\alpha,\beta)=0$. $f$ es más fuerte que el $g$ si $g\subset f$.

La condición anterior, en $c$ implica $P$ ha $\kappa$-cc (por lo $\kappa$ no se caiga). Un genérico para $P$ da una partición de $\kappa$ a $\omega$ muchos conjuntos, cada uno de los $c$-homogéneo en color $0$.

Estoy tratando de entender lo que puede decirse acerca de esta partición. Una pigeon-hole argumento implica que hay al menos un conjunto en la partición de tamaño $\kappa$. Así que uno puede preguntar:

• Puede haber más de un conjunto en la partición de tamaño $\kappa$?
• Puede haber sólo un set en la partición de tamaño $\kappa$?
• Pueden todos los conjuntos en la partición de ser de tamaño $\kappa$?
• etc.

Soy consciente de que puede haber una respuesta positiva a todas estas preguntas, es decir, que $P$ no forzar mucho acerca de la partición. Pero si es así, ¿cómo puedo demostrarlo? Cómo uno debe de ir en la investigación de esta obligando?

Answer 1

Siguiente Asaf sugerencia, nos muestran que en realidad es forzoso que todos los conjuntos en la partición son de tamaño $\kappa$.

En primer lugar, observamos que el conjunto de $$B=\{a\in[\kappa]^{<\omega} \mid \exists \beta(a)>\sup(a) \ s.t. \forall \beta\geq\beta(a) \exists \alpha\in a,\ c(\alpha,\beta)=1 \}$$ es de tamaño $<\kappa$. De lo contrario, podemos optar por inducción $\{a_\xi \mid \xi<\kappa\}$ escogiendo para cada $\xi<\kappa$ algunos $a_\xi\in B$ s.t. $\min(a_\xi)>\sup\{\beta(\alpha_\zeta) \mid \zeta<\xi\}$. Así, por la definición de la $\beta(a)$ por cada $\zeta<\xi<\kappa$ y cada una de las $\alpha_\zeta\in a_\zeta$, hay algunos $\alpha_\xi\in a_\xi$ con $c(\alpha_\zeta,\alpha_\xi)=1$, lo que contradice la suposición sobre la $c$ (lo que indica que hay $\zeta<\xi$ con $c``[a_\zeta \times a_\xi]=\{0\}$).

Así WLoG, haciendo caso omiso de algunas segmento inicial de $\kappa$, podemos asumir que para todos los $a\in[\kappa]^{<\omega}$ hay unboundedly muchos $\beta$-s.t. $c(\alpha,\beta)=0$ por cada $\alpha \in a$.

Esto significa que por cada $n<\omega$ el conjunto $$D_{n,\alpha}=\{f\in P \mid \sup(f^{-1}(n))>\alpha\}$$ es denso en $P$ (para cualquier $f\in P$ a aplicar lo que hemos mostrado en $dom(f)\in[\kappa]^{<\omega}$ para obtener una prórroga $f\cup \{(\beta,n)\}$ con $\beta>\alpha$). Así, en una extensión genérica, cada conjunto en la partición sería ilimitada, y por lo tanto del tamaño de la $\kappa$.