Simulación de procesos interactivos de Ornstein-Uhlenbeck.

Question

Me gustaría simular el siguiente sistema de interacción OU procesos en $[0,T]$:

$$dX_t^1=(X_t^2-X_t^1)\,dt+\sigma_1 \,dW_t^1,\quad X_0^1=x_1$$

$$dX_t^2=(X_t^1-X_t^2)\,dt+\sigma_2 \,dW_t^2,\quad X_0^2=x_2$$

donde $W^1$ e $W^2$ son dos independientes Wiener procesos. Soy consciente del hecho de que hay una forma cerrada de la fórmula para el clásico dimensiones OU proceso, pero en el caso de los dos interactúan los procesos de arriba, yo no creo que esto sea posible. Como resultado, mi primera idea fue ingenuamente aplicar la de Euler-Maruyama esquema, de la siguiente manera:

$$X_{t_{k+1}}^1=X_{t_k}^1+(X_{t_k}^2-X_{t_k}^1)h+\sigma_1(W_{t_{k+1}}^1-W_{t_k}^1)$$

$$X_{t_{k+1}}^2=X_{t_k}^2+(X_{t_k}^1-X_{t_k}^2)h+\sigma_2(W_{t_{k+1}}^2-W_{t_k}^2)$$

con $X_{t_0}^1=x_1$, $X_{t_0}^2=x_2$, $t_k=\frac{kT}{N}$, siendo N el número de subdivisiones, y $h=\frac{T}{N}$.

Sin embargo, no estoy seguro si el de Euler-Maruyama esquema se puede aplicar a esta interacción caso, y si es o no el esquema sería eficaz que convergen en este contexto específico. Cualquier idea o referencias a la literatura se agradecería mucho, gracias.

Answer 1

Simplemente puede probar la transformación$$A_t = \frac{X_t^1 + X_t^2}{\sqrt{2}}, \quad B_t = \frac{X_t^1 - X_t^2}{\sqrt{2}}$ $ Las ecuaciones se volverán mucho más simples.

Answer 2

La transformación que sugieres da:

$dA_t=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sigma_1 dW_t^1+\sigma_2 dW_t^2)$

$dB_t=\frac{1}{\sqrt{2}}(2X_t^2-2X_t^1+\sigma_1 dW_t^1-\sigma_2 dW_t^2)$

¿Cómo se supone que esto me ayude?

Answer 3

ok muchas gracias por ese corindo, ¿crees que podemos hacer una transformación similar para el caso tridimensional:

PS

PS

PS

Mi objetivo final es simular el sistema N-dimensional:

PS

para todos los$$dX_t^1=(X_t^2-2X_t^1)\,dt+\sigma_1 \,dW_t^1,\quad X_0^1=x_1$ y con condiciones de contorno$$dX_t^2=(X_t^1+X_t^3-2X_t^2)\,dt+\sigma_2 \,dW_t^2,\quad X_0^2=x_2$.

¿No estoy seguro de si podemos encontrar una transformación adecuada para obtener una expresión de forma cerrada?