Sabemos que la función $f(x)=(|x_1|^p+\dots+|x_n|^p)^{1/p}$ en $\mathbb{R}^n$ no es convexo para $0<p<1$ . Me pregunto si existe alguna función no constante y continuamente diferenciable $g$ en $\mathbb{R}$ tal que $g \circ f$ es convexo.
Respuesta
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No.
Para simplificar, digamos que estamos trabajando en $R^2$ . Para alguna constante $c$ , grafique la curva en la que $f=c$ .
Será algo así:
Hay tres puntos colineales en esta curva. $f$ toma el mismo valor para esos tres puntos, por lo que $g ∘f$ también debe tomar el mismo valor para esos tres puntos.
Pero para cualquier función convexa, si toma el mismo valor en tres puntos colineales, entonces es constante en el segmento de línea que contiene esos tres puntos. Este argumento funciona para cualquier segmento de línea que pase por al menos tres puntos de cualquier curva de nivel de $f$ por lo que no hay ninguna no-constante $g$ que se ajuste a sus especificaciones.
