derivada logarítmica

Question

Parece que cuando existe la derivada logarítmica de una función, la función en sí misma no puede ser cero. Pero no pude construir una prueba convincente. ¿Es esto cierto?

$\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ está limitado implica que$f(x)$ no puede tener cero como valor límite.

¿Es esto cierto?

Answer 1

Cierto cuando $x$ enfoques de un número finito de $x_0$, no al $x$ enfoques $\pm \infty$, como se explica a continuación.

Suponga $f$ es diferenciable en $\mathbb{R}$.

A continuación, la función $$ g(x):=\ln|f(x)| $$ se define y diferenciable en el conjunto abierto $$ U=\{x\in\mathbb{R}\;;\; f(x)\neq 0\}. $$ Su derivada es $$ g'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}\qquad \forall\;x\in U. $$

Escribir $U=\bigcup_{n\geq 1}(a_n,b_n)$ como una contables distintos de la unión de intervalos abiertos. Ver este hilo para ver por qué esto es posible.

Considere, por ejemplo, un punto finito $x_0=a_n$.

Tenga en cuenta que $\lim_{x\rightarrow x_0^+}\ln |f(x)|=\lim_{x\rightarrow x_0^+}g(x)=-\infty$.

Ahora si $g'=(\ln |f|)'$ fue delimitada por, digamos, $M$ a $(x_0,x_0+\delta]$, la media del teorema del valor y, a continuación, la desigualdad triangular, daría $$ |g(x)-g(x_0+\delta)|\leq M \delta\quad \Rightarrow\quad |g(x)|\leq |g(x_0+\delta)|+M\delta $$ para todos los $x\in(x_0,x_0+\delta]$.

Contradicción.

Así que la derivada logarítmica es ilimitado cuando se acerca a cada límite finito punto de $U$.

Ahora con respecto al comportamiento en $\pm\infty$, usted puede encontrar fácilmente ejemplos donde $f'/f$ es limitada mientras que $f$ tiende a $0$.