Límite inferior topología espacio regular$ T_3$

Question

Estoy comenzando a estudiar la topología y tengo problemas la resolución de estos ejercicios (mi libro no tiene respuestas, por desgracia). ¿Podría usted ayudarme?

Considerar el límite inferior de la topología $ \mathcal{T}$ generado por la base de $ \mathcal{B} = \left\{ [a,b) \ | \ a,b \in \mathbb{R}, \ a<b\right\} $.

Ya puedo demostrar que este espacio topológico Hausdorff espacio, lo que significa que para cualquier $x,y \in \mathbb{R}, \ x \neq y$ podemos encontrar distintos barrios, y que $ \{ x \}$ es cerrado en esta topología.

Lo que yo no puedo demostrar es que:

1) $ \forall x \in \mathbb{R} \ \forall A \subset \mathbb{R} $ cerrado en $(\mathbb{R}, \mathcal{T} ), \ x \not \in A \ \ \ \exists U, V \in \mathcal{T} \ : \ x \in U, \ A \subset V, \ U \cap V = \emptyset $ (espero que sea comprensible)

2) Demostrar que cada punto en $(\mathbb{R}$ tiene una contables barrio de base en $(\mathbb{R}, \mathcal{T})$

Answer 1

CONSEJOS:

(1) Sea$W=\Bbb R\setminus A$; entonces$W$ es un nbhd abierto de$x$, así que$[x,y)\subseteq W$ para algunos$y\in\Bbb R$. Ahora use el hecho de que$[x,y)$ está cerrado (= cerrado y abierto).

(2) Para$x\in\Bbb R$ considere los nbhds básicos abiertos$\left[x,x+\frac1n\right)$ con$n\in\Bbb Z^+$. Agregado: una idea aún mejor es dejar$\mathscr{B}(x)=\left\{[x,q):x<q\in\Bbb Q\right\}$; Esto todavía es contable, y hace que la verificación sea aún más fácil.