Deje que$M(k)$ denote la cobertura de doble ramificación de$S^3$ a lo largo del nudo$k$. Se sabe que $M(k_1\#k_2)=M(k_1)\#M(k_2)$. También se sabe que el unknot es el único nudo, por lo que la cobertura de doble ramificación correspondiente es$S^3$. Estos dos hechos en conjunto implican que la cubierta bifurcada doble de$S^3$ a lo largo de un nudo no primo es un múltiple múltiple no primo. Me pregunto si lo contrario es cierto. Más precisamente, ¿es cierto que si$k$ es un nudo primo, entonces$M(k)$ es primo?
Respuesta
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Si usted piensa de $(S^3, k)$ como orbifold con singular conjunto $k$ (y del ángulo del cono $\pi$ a lo largo de $k$), entonces usted debe pensar acerca de orbifold cubre - por ejemplo, la doble ramificada de la cubierta de este como otros análogos a las tapas de las 3-variedades de sí mismos. Y usted sabe que cubre de prime 3-variedades son todavía prime (a pesar de que el recíproco no es necesariamente cierto). Así que usted debe tratar de imitar la prueba. La forma en que esto funciona normalmente está pasando a través de la irreductible de las 3-variedades.
Supongamos que los aminoácidos de doble cubierta, no es irreducible, por lo que hay una esfera que no vinculado a un balón. Entonces (Meeks-Simon-Yau; Dunwoody) no es una esfera $S$ que no vinculado a un balón, se cruza con $\tilde k$ en tan pocos puntos como sea posible, y la involución $\iota$ ha $\iota S = S$ o $\iota S \cap S = \varnothing$. Veamos los dos casos por separado.
1) $\iota S \cap S = \varnothing$. Desde $\tilde k$ es el punto fijo del conjunto de la involución, claramente esto implica $S$ es disjunta de $\tilde k$. Empuje la esfera de $S$ en planta baja; esto implica que su imagen es una esfera disjunta de $k$. Debido a que las esferas en $S^3$ límites de una pelota en ambos lados, toma la bola disjunta de $k$. A continuación, $f^{-1}(B) \to B$ es de nuevo un doble cubierta, y por lo tanto $f^{-1}(B)$ es de dos bolas disjuntas, por lo $S$ delimitada una pelota, después de todo. Whoops.
2) $\iota S = S$. Cada involución de $S$ es la identidad o conjugado a la antipodal mapa, rotación por $\pi$ alrededor de un eje, o la reflexión a través de un plano. No puede ser la identidad o la reflexión, desde entonces no se cruzan en el punto fijo set $\tilde k$ transversalmente. Si se tratara de la antipodal mapa, la imagen sería una incrustado $\Bbb{RP}^2$ en $S^3$, lo cual es imposible. Así que todo lo que queda es que el $S$ intersecta $\tilde k$ en exactamente dos puntos, y por lo $S$ pasa hacia abajo a una esfera que se cruza con $k$ en exactamente dos puntos. Si $k$ es primo, entonces una de las bolas $S/\iota$ límites debe intersectar $k$ en un arco, y por lo tanto el doble ramificada de la cubierta de la pelota es una pelota, contradiciendo la elección de $S$.
Así que el doble ramificada de la cubierta de un primer nudo es irreductible, y por tanto en primer.
