La respuesta depende de lo que quieres decir con el "régimen". En el paso 4 se menciona: "el teorema". Si te refieres a la forma general del teorema debido a Banach, entonces no puede haber alguien antes que él que puede implementar el esquema (por definición). El punto fijo de Banach es el teorema de la enunció por primera vez como Teorema 6 en la página 330 de esta impresión de su tesis doctoral. Desafortunadamente, a pesar de su sugerente título, la tesis doctoral de hecho, no contienen una solicitud de utilizar el teorema de punto fijo para resolver las ecuaciones integrales.
Pero si se relaja el sentido de "teorema", y se refieren no tanto a la versión abstracta declarado y demostrado por Banach, pero la idea general de que "la contracción de las asignaciones de contener puntos fijos", luego de Banach que no es ni siquiera cerca de la primera persona para hacer uso del esquema que describe.
El esquema que describe, en su forma general (incluso más general de lo que exactamente paso cuatro esquema que se describe), es llamado el método de aproximaciones sucesivas. La primera de sus usos en el mundo Occidental, es probable (aunque no estoy totalmente seguro de esto), debido a la I. Newton en su homónimo método para encontrar raíces de funciones. La convergencia en el caso de una asignación de contracción (ya que estamos hablando ahora acerca de la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sigue fácilmente a partir de la convergencia de la serie geométrica y la prueba de comparación para la convergencia de series), y no es nada especial a destacar acerca de. Uno de los más conocidos utiliza el método de aproximaciones sucesivas es de Picard original de la prueba de la existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. A pesar de las modernas presentaciones que casi siempre pasan a través de Banach del teorema de punto fijo, Picard "ataque de fuerza bruta" de la construcción. (Lindelof la mejora en Picard del teorema original fue publicado en 1894, 25 años antes de Banach formulado su punto fijo teorema).
Pero me dijo "mundo Occidental" antes. De hecho, una forma del método de aproximaciones sucesivas era conocido por los Babilonios para encontrar la raíz cuadrada de un número positivo, que es muy similar a la de aplicar el método de Newton a la ecuación cuadrática $x^2 - a = 0$. Hay un buen post del blog de Juan Báez y Richard Elwes acerca de eso.
Pero volvamos a el método de aproximaciones sucesivas. Utilizando el método de resolver los problemas, sin duda tiene una larga historia. Y se reconoce desde el principio que una condición necesaria para la convergencia es que el término de error se reduce a cero. El problema es que si no sabemos acerca de la convergencia, no tenemos un candidato de "limitar el objeto" a la que se puede medir el error! Así que uno de los grandes pasos en el desarrollo de este método se debe seguramente a Bolzano y Cauchy , quien reconoció la importancia de secuencias de Cauchy. Ignorando el problema de la convergencia de Cauchy secuencias (que es tratada por la integridad de la métrica espacios), el método de aproximaciones sucesivas puede ser aplicado con éxito siempre que la recorre en forma de una secuencia de Cauchy.
Elenco de esta histórica de la luz, tal vez se debe pensar en el desarrollo del punto fijo de Banach teorema no como inspirar a los demás para resolver problemas mediante el método de aproximaciones, pero como el suministro de una importante, lo suficientemente criterio general para cuando el método de aproximaciones puede ser aplicada.
