la suma de:

Question

Pensé que esto era la parte real de la serie:$\sum_{n=0}^\infty \frac{i^n}{1+2n}$, con$i=\sqrt{-1}$. Al tomar la parte real me quedo con:$\sum_{n=0}^\infty \frac{\cos(n\pi/2)}{1+2n}$. Sé que esta suma es aproximadamente 0.866973, pero no tengo idea de cómo llegar a esta respuesta. ¿Puede alguien ayudarme por favor?

Answer 1

¿Puedes hacer algo con$\frac{1}{1+x^4}=1-x^4+x^8-x^{12}+\cdots$, y luego integrar término por término y conectar$x=1$ para obtener tu serie? (En la línea de lo que se hace para obtener$1-\frac{1}{3}+\frac15-\cdots=\frac{\pi}{4}$)

Answer 2

La respuesta es$\frac{\sqrt2}{8}$ multiplicado por$ln(2+\sqrt2)-ln(2-\sqrt2)-2arctan(1-\sqrt2)+2arctan(1+\sqrt2)$. Se basa en el derivado de$\frac{1}{x^4+1}$ que se puede hacer mediante la descomposición de fracciones particulares. Los factores de denominación$(x^2+x\sqrt2+1)(x^2-x\sqrt2+1)$ es tedioso pero factible. Los numeradores son de la forma$Ax=B$ y$Cx+D$ porque los valores son primos. Conecte 1 para que el anti derivado obtenga su respuesta. Darle una oportunidad. (asigne media hora más o menos, lo había hecho hacía un tiempo y había recuperado el papel)

Answer 3

Podemos escribir$$\displaystyle I = 1-\frac{1}{5}+\frac{1}{9}-\frac{1}{13}+......\infty = \int_{0}^{1}\left(1-x^{4}+x^{8}-x^{12}+.......\infty\right)$ $

Así obtenemos$$\displaystyle I =\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^4}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{(x^2+1)-(x^2-1)}{x^4+1}dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{x^2+1}{x^4+1}dx-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{x^2-1}{x^4+1}dx$ $

Ahora deja$$\displaystyle J = \int_{0}^{1}\frac{x^2+1}{x^4+1}dx = \int_{0}^{1}\frac{1+\frac{1}{x^2}}{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+\left(\sqrt{2}\right)^2}dx = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\tan^{-1}\left(\frac{x^2-1}{\sqrt{2}x}\right)\right]_{0}^{1}$ $

Así obtenemos$$\displaystyle J = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(0+\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$ $

Del mismo modo, dejar que$$\displaystyle K = \int_{0}^{1}\frac{x^2-1}{x^4+1}dx = \int_{0}^{1}\frac{1-\frac{1}{x^2}}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-\left(\sqrt{2}\right)^2}dx =\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\ln\left|\frac{x^2-\sqrt{2}x+1}{x^2+\sqrt{2}x+1}\right|\right]_{0}^{1}$ $

Así obtenemos$$\displaystyle K = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\ln \left(\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}\right)\right] = -\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\ln \left(\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}\right)\right]=-\frac{1}{\sqrt{2}}\ln(\sqrt{2}+1)$ $

Así obtenemos$$\displaystyle I = \frac{1}{2}J-\frac{1}{2}K = \frac{\pi}{4\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln(\sqrt{2}+1) = {\frac{\pi+2\ln(\sqrt{2}+1)}{4\sqrt{2}}}$ $