Muestra lo siguiente: $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{n(n+k)}=\dfrac{H_k}k$ .

Question

Para cada $n\in\Bbb N$ con $n\geq1$ es $\displaystyle H_n:=\sum_{k=1} ^n\dfrac 1k$ el $n$ *-ésima suma parcial de la serie armónica.* $k\in\Bbb N$ con $k\geq1$ . Demuestre que $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{n(n+k)}=\dfrac{H_k}k$

¿Cómo puedo solucionarlo? Llevo todo el día haciendo cuentas y mi cabeza está a punto de explotar. Pero necesito esto para mañana. Ayuda por favor.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\frac{1}{n(n+k)} = \frac{1}{k}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+k}\right).$$