Lo que hace la notación $P[X\in dx]$ significa?

Question

Estoy estudiando la probabilidad, específicamente regular condicional distribuciones, y llegó a través de la notación $P[X\in dx]$. ¿Qué significa esto? Aquí, $X$ es una variable aleatoria y $P$ es una medida de probabilidad.

También tengo curiosidad acerca de $$\frac{P[Y\in dy\ |\ X=x]}{dy}.$$

Answer 1

Si una variable aleatoria $X$ es dado, entonces se induce el pushforward medida define por

$$ E \mapsto \Bbb{P}( \{ \omega \in \Omega : X(\omega) \in E \}) = \Bbb{P}(X^{-1}(E)). $$

Los matemáticos simplemente abreviar esta por $\Bbb{P}(X \in E)$ cada vez que no surge la confusión. Sustitución de la elección particular de la $E$ por un marcador de posición $\cdot$, se puede escribir simbólicamente este pushforward medida por $\Bbb{P}(X \in \cdot)$.

Si $X$ es un valor real, a continuación, $\Bbb{P}(X \in \cdot)$ define una medida de probabilidad en $\Bbb{R}$. Ahora, es el recuerdo de una medida $\mu$ a $\Bbb{R}$ a menudo se escribe simbólicamente como $\mu(dx)$, particularmente en el contexto de la integración en donde explícitamente la escritura de la variable sobre la que integrands dependen convierte en importante. Entonces la notación $\Bbb{P}(X \in dx)$ se reduce a un caso particular de esta práctica.

Usted puede pensar que la notación simbólica $dx$ intuitivamente significa cualquiera de las opciones posibles de infinitesimalmente pequeños conjuntos medibles. Esta práctica está parcialmente justificada por el hecho de que si $\Bbb{P}(X \in \cdot)$ es una medida de Borel en $\Bbb{R}$, entonces para cualquier $f \in C_b(\Bbb{R})$,

$$ \int_{\Bbb{R}} f(x) \, \Bbb{P}(X \in dx) = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(x_k) \Bbb{P}(X \in [x_k, x_k + \Delta x) ), \quad \Delta x = \frac{1}{n} \text{ and } x_k = k \, \Delta x. $$