Cómo encontrar la exponencial de una matriz dada?

Question

Dado $$A=\begin{bmatrix}-3&2\\-1&0\end{bmatrix}$$ how to find $e^{9}$?

He probado este problema muchas veces, pero no sé cómo encontrar la exponencial de una matriz dada, incluso si no sabes cómo encontrar a $e^{A}$ sólo por favor me ayude. También me ayudará a encontrar a $e^{\mbox{tr}(A)}$.

Answer 1

Una ruta corta, que evita innecesarios diagonalizations, es calcular cada exponencial de $A$, es decir, para buscar las funciones de $x$ e $y$ tal que, para cada $t$, $$e^{tA}=x(t)A+y(t)I$$ Then, $\mathrm{tr}(A)=-3$ and $\det(A)=2$ hence $$A^2=-3A-2I$$ Esto implica $$x'(t)A+y'(t)I=(e^{tA})'=Ae^{tA}=A(x(t)A+y(t)I)=x(t)(-3A-2I)+y(t)A$$ that is, $$x'(t)A+y'(t)I=(y(t)-3x(t))A-2x(t)I$$ or, equivalently, $$x'(t)=y(t)-3x(t)\quad y'(t)=-2x(t)$$ This implies that $$x''(t)+3x'(t)+2x(t)=0$$ The roots of the polynomial $t^2+3t+2=(t+2)(t+1)$ are $-1$ and $-2$ hence $$x(t)=ue^{-t}+ve^{-2t}$$ for some given constants $(u,v)$, which implies $$y(t)=x'(t)+3x(t)=2ue^{-t}+ve^{-2t}$$ The initial conditions $x(0)=0$ and $y(0)=1$, when applied to these formulas for $x(0)$ and $y(0)$, yield $u=1$ and $v=-1$, hence, for every $t$, $$e^{tA}=(e^{-t}-e^{-2t})A+(2e^{-t}-e^{-2t})I$$ that is, $$e^{tA}=\begin{pmatrix}-e^{-t}+2e^{-2t} & 2e^{-t}-2e^{-2t}\\-e^{-t}+e^{-2t}&2e^{-t}-e^{-2t}\end{pmatrix}$$ from which the value of the matrix $e^{3A}$ de la siguiente manera.

Answer 2

Para un $2\times2$ matriz $A$ que tiene distintos real de los autovalores $\lambda_1$ e $\lambda_2$ hay un acceso directo que tiene la ventaja de la descomposición $$A=\lambda_1P_1+\lambda_2P_2 = \lambda_1{A-\lambda_2I\over\lambda_1-\lambda_2}+\lambda_2{A-\lambda_1I\over\lambda_2-\lambda_1}.$$ $P_1$ and $P_2$ are projections onto the respective eigenspaces that have the property $P_1P_2=P_2P_1=0$. Since for any projection $P$, $P^2=P$ this means that $$A^k = \lambda_1^k{A-\lambda_2I\over\lambda_1-\lambda_2}+\lambda_2^k{A-\lambda_1I\over\lambda_2-\lambda_1}$$ and $$e^{tA} = e^{\lambda_1t}{A-\lambda_2I\over\lambda_1-\lambda_2}+e^{\lambda_2t}{A-\lambda_1I\over\lambda_2-\lambda_1}$$

Answer 3

El uso de la eigendecomposition de $A$, es decir, $A=P\Lambda P^{-1}$ donde $\Lambda$ es la matriz diagonal de los valores propios $\lambda_1$, $\lambda_2$ de $A$ e $P$ es una matriz cuyas columnas son los orthogonalized vectores propios de $A$.

A continuación, $e^A$ se calcula como: $e^A=Pe^\Lambda P^{-1}$ (mencionado aquí) donde $$e^\Lambda =\begin{bmatrix} e^{\lambda_1} & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2} \end{bmatrix}.$$ Since you want to compute $e^{9}$, note that $9A=P(9\Lambda)P^{-1}$, so $e^{9}=Pe^{9\Lambda}P^{-1}$.

Para $e^{\text{trace}(A)}$, tenga en cuenta que $\text{trace}(A)=-3$ es sólo un número tan $e^{\text{trace}(A)} =e^{-3}$.