Puede ser útil volver a la definición de los operadores de Hecke en el nivel $1$ en la obra de Serre Curso de aritmética . Para un primer $p$ y un entramado $\Lambda$ El $p$ la corresondencia de Hecke (olvido si Serre utiliza exactamente esta terminología) toma $\Lambda$ a $\sum \Lambda'$ , donde $\Lambda'$ recorre todos los índices $p$ sublattices de $\Lambda$ .
Se trata de una función multivaluada de retículos a retículos (es $1$ -a- $p+1$ -de valor).
Ahora los entramados (mod scaling) son sólo curvas elípticas: $\Lambda \mapsto \mathbb C/\lambda$ . Y así también podemos pensar en esto como un mapa multivalente del espacio de moduli de las curvas elíticas (es decir, el $j$ -línea, o $Y_0(1)$ si se quiere) a sí mismo.
¿Cómo describir un mapa multivalente de forma más geométrica? Piensa en su gráfico dentro de $Y_0(1) \times Y_0(1)$ . La gráfica de una función tiene la propiedad de que su proyección sobre el primer factor es un isomorfismo. La gráfica de una $p+1$ -tiene la propiedad de que su proyección sobre la primera factor es de grado $p+1$ .
Este gráfico tiene una descripción explícita: es simplemente $Y_0(p)$ (la curva modular del nivel $\Gamma_0(p)$ ). Recuerde que $Y_0(p)$ parametriza los pares $(E,E')$ de $p$ -curvas isógenas. Lo incrustamos en $Y_0(1) \times Y_0(1)$ de la forma más obvia, mapeando el par $(E,E')$ (considerado como un elemento de $Y_0(p)$ ) a $(E,E')$ (considerado como un elemento del producto).
En términos de la variable del medio plano superior $\tau$ se puede pensar en este mapa como es $\tau \bmod \Gamma_0(p)$ mapas a $\bigl(\tau \bmod SL_2(\mathbb Z), p\tau \bmod SL_2(\mathbb Z) \bigr).$
Así que hemos refundido la descripción de Serre del $p$ operador de Hecke en términos de una correspondencia sobre retículos en el lenguaje geométrico de las correspondencias sobre curvas: es decir, el $p$ El operador de Hecke viene dado por un morfismo multivalente de $Y_0(1)$ a sí mismo, codificado rigurosamente por su gráfico pensado como una curva en la superficie del producto $Y_0(1) \times Y_0(1)$ que de hecho es isomorfo a $Y_0(p)$ .
Podemos compactar fácilmente la situación, para obtener $X_0(p)$ incrustación como el gráfico de una correspondencia en $X_0(1) \times X_0(1)$ .
[Advertencia: en realidad el mapa $Y_0(p) \to Y_0(1) \times Y_0(1)$ no necesita ser una incrustación; es un mapa birracional sobre su imagen, pero la imagen puede ser singular (y lo mismo se aplica con $X$ en lugar de $Y$ 's). T $Y_0(p)$ no es sólo el par $(E,E')$ pero los datos adicionales del $p$ -isogenia $E\to E'$ que no está determinada unívocamente hasta el isomorfismo en algún casos excepcionales. Pero este es un punto técnico sobre el que no vale la pena preocuparse al principio].
La ventaja de tener una correspondencia geométrica a la vista es que siempre que aplicamos cualquier tipo de functor de linealización a nuestra curva, la correspondencia se convertirá en un auténtico operador de un solo valor.
La cuestión es que si tenemos una función multivaluada de un grupo abeliano a otro, podemos simplemente sumar los valores para obtener una función de un solo valor.
Así que la correspondencia $T_p$ induce mapas genuinos del jacobiano de $X_0(1)$ a sí mismo, o de la cohomología de $X_0(1)$ a sí mismo, o del espacio de diferenciales holomorfas sobre $X_0(1)$ a sí mismo.
Ahora bien, en realidad en el caso de $X_0(1)$ que tiene género cero, el jacobiano y el espacio de diferenciales holomorfas son triviales. Pero podemos hacer todo con $X_0(N)$ ou $X_1(N)$ en lugar de $X_0(1)$ para cualquier $N$ y se aplican las mismas observaciones.
Recordando que las diferenciales holomorfas en $X_0(N)$ son las cuspformas de peso dos del nivel $N$ se puede calcular que el $p$ La correspondencia de Hecke da lugar a la habitual $p$ El operador de Hecke en las cuspformas de esta manera.
¿Qué sentido tiene considerar la correspondencia? Hay muchos; aquí hay uno:
si reducimos todo mod $p$ , obtenemos un mod $p$ correspondencia en el mod $p$ reducción de $X_0(N)$ cuyo gráfico es el mod $p$ reducción de $X_0(Np)$ . Pero esta última reducción es bien conocida por ser singular, y de hecho reducible; es la unión de dos copias de $X_0(N)$ . Así, el $p$ la correspondencia de Hecke mod $p$ se descompone como la suma de dos correspondencias más simples, que se comprueba que es el morfismo de Frobenius de $X_0(N)$ Mod $p$ a sí mismo, y su dual.
Esta es la relación de congruencia Eichler--Shimura (de alguna forma se remonta a Kronecker), y subyace a la relación entre $T_p$ -y la traza de Frobenius en la $2$ -reps. de Galois de dimensión adjunta a las eigenformas de Hecke.
Algunos puestos de MO que son vagamente relevantes:
El mapa sobre diferenciales inducido por una correspondencia
La relación Eichler --Shimura
