Demostrar que $\Gamma (-n+x)=\frac{(-1)^n}{n!}\left [ \frac{1}{x}-\gamma +\sum_{k=1}^{n}k^{-1}+O(x) \right ]$

Question

Demostrar que $\Gamma (-n+x)=\frac{(-1)^n}{n!}\left [ \frac{1}{x}-\gamma +\sum_{k=1}^{n}k^{-1}+O(x) \right ]$ No sé cómo hacer esto ? Tenga en cuenta que $\gamma $ es el de Euler-Mascheroni constante

Answer 1

Un estándar truco es usar el reflejo de la identidad $$\Gamma(-n+x) \Gamma(1+n-x) = -\frac{\pi}{\sin(\pi n - \pi x)}$$ dando, bajo el supuesto de $n\in \mathbb{Z}$ $$ \Gamma(-n+x) = (-1)^n \frac{\pi}{\sin(\pi x)} \frac{1}{\Gamma(n+1-x)} = (-1)^n \frac{\pi}{\sin(\pi x)} \frac{1}{\color\verde{n!}} \frac{\color\verde{\Gamma(n+1)}}{\Gamma(n+1-x)} $$ Asumiendo $n \geqslant 0$, $$ \begin{eqnarray}\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+1-x)} &=& \frac{1}{\Gamma(1-x)} \prod_{k=1}^n \frac{1}{1-x/k} \\ &=& \left(1+\psi(1) x + \mathcal{o}(x)\right) \left(1+\sum_{k=1}^n \frac{x}{k} + \mathcal{o}(x) \right) \\ &=& 1 + \left( \psi(1) + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \right) x + \mathcal{o}(x) \end{eqnarray}$$ donde $\psi(x)$ es la función digamma. También el uso de $$ \frac{\pi}{\sin(\pi x)} = \frac{1}{x} + \frac{\pi^2}{6} x + \mathcal{s}(x) $$ y la multiplicación obtenemos $$ \Gamma(n+1) = \frac{(-1)^n}{n!} \left( \frac{1}{x} + \psi(1) + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} + \mathcal{S}(x) \right) $$ Más $\psi(1) = -\gamma$ donde $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni constante, llegando a su resultado.