Una caracterización de los conjuntos densos de ninguna parte

Question

¿Puede darme una pista, por qué la siguiente caracterización de un conjunto denso en ninguna parte $A$ (donde mi definición de n.d. es $ \textrm{Int(cl}(A))=\emptyset$ ) debería mantenerse:

Para todo conjunto abierto no vacío $U$ existe un conjunto abierto $V$ , de tal manera que $V \subseteq U$ y $A\cap V = \emptyset$ (He encontrado esta caracterización en la Wikipedia francesa artículo para los conjuntos n.d.).

Answer 1

(a) $\operatorname{Int}\overline A=\emptyset$ $\Leftrightarrow$
(b) No hay ningún conjunto abierto no vacío $U\subseteq\overline A$ . $\Leftrightarrow$
(c) Si $U$ es un conjunto abierto no vacío, entonces $U\setminus\overline A\ne\emptyset$ . $\Leftrightarrow$
(d) Si $U$ es un conjunto abierto no vacío, entonces existe un conjunto abierto no vacío $V$ tal que $V\subseteq U\setminus\overline A$ . $\Leftrightarrow$
(e) Si $U$ es un conjunto abierto no vacío, entonces existe un conjunto abierto no vacío $V$ tal que $V\subseteq U\setminus A$ .

La equivalencia de las dos últimas condiciones se deduce de $\operatorname{Int} (U\setminus A)=U\setminus\overline{A}$ .

• La inclusión $\operatorname{Int} (U\setminus A)\supseteq U\setminus\overline{A}$ está claro, ya que $U\setminus\overline{A}$ es un conjunto abierto y $U\setminus\overline{A}\subseteq U\setminus A$ .

• Por otro lado, si $V\subseteq U\setminus A$ es un conjunto abierto, entonces $V\cap A=\emptyset$ . Esto implica $V\cap\overline A=\emptyset$ . Hemos demostrado que $V\subseteq U\setminus \overline A$ es válida para todo subconjunto abierto $V$ de $U\setminus A$ . Esto significa que $\operatorname{Int} (U\setminus A)\subseteq U\setminus\overline{A}$ .

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También puede encontrar una prueba similar en el libro Elements of Metric Spaces de M.N. Mukherjee p.89 . (Encontré este libro simplemente escribiendo "que A no sea denso en ninguna parte" en google, no sé qué tan bueno es este libro. Sin embargo, la prueba de este resultado parece estar bien).